Escolha uma das seguintes alternativas para a série de Taylor
em torno de
e para seu raio de convergência
da função
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha qual alternativa (entre (a) a (e)) dá a série de Taylor de
em torno de
— isto é, a expansão de Maclaurin
— e o raio de convergência
da função
Informações relevantes fornecidas: a função racional
e as cinco alternativas, cada uma apresentando uma série explícita e um valor para o raio
. A tarefa é identificar qual alternativa corresponde corretamente à expansão em torno de
e ao raio de convergência.
Passo 2
Lembra da fórmula clássica da série geométrica: para qualquer número (ou expressão)
com
,
Aqui a variável
é o termo geral que é repetido com potências; a condição
garante que a soma infinita converge. Um caso muito conhecido é
para
. Isso é exatamente a série de Taylor (Maclaurin) de
centrada em
.
Passo 3
Agora aplicamos essa ideia à nossa função. Observa que
tem a mesma forma de
se identificarmos
com
. Ou seja,
Pela fórmula da série geométrica, sempre que
podemos escrever
Substituindo
obtemos a expansão em potências de
:
Esta é a série de Taylor (Maclaurin) pedida, porque é a expansão em torno de
escrita como soma de potências de
.
Passo 4
Agora precisamos do raio de convergência
. A condição de validade da série geométrica foi
, isto é
. Vamos resolver essa desigualdade:
Como
e
, concluímos
Portanto o raio de convergência é
Comentário extra (útil na prova): geometricamente, o raio de convergência de uma série de potências centrada em
é a distância até a singularidade mais próxima do plano complexo; aqui
tem singularidades (pólos) em
, daí o mesmo resultado. Também dá para obter
aplicando o teste da razão, mas a forma direta pela substituição em
é mais simples.
Passo 5
Comparando com as alternativas dadas:
- A alternativa (a) afirma
e — isto coincide com os resultados dos passos anteriores. - As outras alternativas têm séries ou raios diferentes (por exemplo (e) tem a série certa mas dá
, que está errado porque a condição correta é , não ). Logo a única correta é a (a).
Resposta
(a)
.