Escolha uma das seguintes alternativas para a série de Taylor S_{f}(x) em torno de x=0 e para seu raio de convergência R da função f(x)=\frac{1}{1-3 x^{2}}
(a) S_{f}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{2 n}, R=\frac{1}{\sqrt{3}}.
(b) S_{f}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 3 x^{3 n}, R=\sqrt{3}.
(c) S_{f}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{2 n}, R=\frac{1}{3}.
(d) S_{f}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 3 x^{n}, R=1.
(e) S_{f}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{2 n}, R=\frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha qual alternativa (entre (a) a (e)) dá a série de Taylor de f em torno de x=0 — isto é, a expansão de Maclaurin S_{f}(x) — e o raio de convergência R da função
f(x)=\frac{1}{1-3x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas: a função racional f(x) e as cinco alternativas, cada uma apresentando uma série explícita e um valor para o raio R. A tarefa é identificar qual alternativa corresponde corretamente à expansão em torno de 0 e ao raio de convergência.

Passo 2

Lembra da fórmula clássica da série geométrica: para qualquer número (ou expressão) r com |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \frac{1}{1-r}.
Aqui a variável r é o termo geral que é repetido com potências; a condição |r|<1 garante que a soma infinita converge. Um caso muito conhecido é \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} para |x|<1. Isso é exatamente a série de Taylor (Maclaurin) de \frac{1}{1-x} centrada em 0.

Passo 3

Agora aplicamos essa ideia à nossa função. Observa que f(x) tem a mesma forma de \frac{1}{1-r} se identificarmos r com 3x^{2}. Ou seja,
f(x)=\frac{1}{1-3x^{2}} = \frac{1}{1-r}\quad\text{com}\quad r=3x^{2}.
Pela fórmula da série geométrica, sempre que |r|<1 podemos escrever
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Substituindo r=3x^{2} obtemos a expansão em potências de x:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (3x^{2})^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{2n}.
Esta é a série de Taylor (Maclaurin) pedida, porque é a expansão em torno de 0 escrita como soma de potências de x.

Passo 4

Agora precisamos do raio de convergência R. A condição de validade da série geométrica foi |r|<1, isto é |3x^{2}|<1. Vamos resolver essa desigualdade:
|3x^{2}|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 3|x|^{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|^{2}<\frac{1}{3}.
Como |x|^{2}=(|x|)^{2} e |x|\ge 0, concluímos
|x|<\frac{1}{\sqrt{3}}.
Portanto o raio de convergência é
R=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Comentário extra (útil na prova): geometricamente, o raio de convergência de uma série de potências centrada em 0 é a distância até a singularidade mais próxima do plano complexo; aqui f tem singularidades (pólos) em x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, daí o mesmo resultado. Também dá para obter R aplicando o teste da razão, mas a forma direta pela substituição em 3x^{2} é mais simples.

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas:
  • A alternativa (a) afirma S_{f}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{2 n} e R=\frac{1}{\sqrt{3}} — isto coincide com os resultados dos passos anteriores.
  • As outras alternativas têm séries ou raios diferentes (por exemplo (e) tem a série certa mas dá R=\frac{1}{3}, que está errado porque a condição correta é |x|<1/\sqrt{3}, não 1/3). Logo a única correta é a (a).

Resposta

(a) S_{f}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{2 n}, R=\frac{1}{\sqrt{3}}.

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