Considere a função f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} dada por f(x)=2 e^{x} \cos x.
(a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (0,2).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2e^{x}\cos x
e pede a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto (0,2). Para isso, precisamos usar derivadas, em particular a regra do produto e as derivadas de e^x e de \cos x.

Passo 2

Vamos calcular f'(x) aplicando a regra do produto a u(x)=2e^x e v(x)=\cos x:
u'(x)=2e^x, \quad v'(x)=-\sin x.
Então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =2e^x\cos x + 2e^x(-\sin x) =2e^x\bigl(\cos x - \sin x\bigr).

Passo 3

A inclinação da reta tangente em x=0 é
f'(0) =2e^0\bigl(\cos0 - \sin0\bigr) =2\cdot1\cdot(1-0) =2.

Passo 4

A equação da reta tangente com inclinação m=2 passando por (0,2) é
y-2 = 2\,(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y = 2x + 2.

Resposta

A reta tangente é y = 2x + 2.

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