Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{4}+2 x+e^{x}}{x \cos x}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular \lim_{x\to0}\frac{x^4+2x+e^x}{x\cos x}. Para isso, vamos analisar separadamente o comportamento do numerador e do denominador quando x se aproxima de zero e depois usar o fato de que uma constante não nula dividida por algo que tende a zero gera divergência.

Passo 2

Calculamos o limite do numerador:
\lim_{x\to0}\bigl(x^4+2x+e^x\bigr).
Como x^4\to0, 2x\to0 e e^x\to e^0=1, resulta
\lim_{x\to0}\bigl(x^4+2x+e^x\bigr)=1.

Passo 3

Calculamos o limite do denominador:
\lim_{x\to0}\bigl(x\cos x\bigr).
Sabemos que \cos x\to1 e x\to0, logo
\lim_{x\to0}\bigl(x\cos x\bigr)=0\cdot1=0.

Passo 4

Como o numerador tende a 1\neq0 e o denominador tende a 0, o quociente diverge. Para ver o sinal, note que \cos x>0 perto de zero, então x\cos x tem o mesmo sinal de x. Consequentemente
\lim_{x\to0^+}\frac{x^4+2x+e^x}{x\cos x}=+\infty, \quad \lim_{x\to0^-}\frac{x^4+2x+e^x}{x\cos x}=-\infty.
Portanto, o limite bilateral não existe (é divergente).

Resposta

O limite não existe no sentido de convergir a um número real. Em particular,
\lim_{x\to0^+}\frac{x^4+2x+e^x}{x\cos x}=+\infty, \quad \lim_{x\to0^-}\frac{x^4+2x+e^x}{x\cos x}=-\infty.

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