Calcule:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{e^{x} \operatorname{tg}(x-1)}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{e^{x}\,\operatorname{tg}(x-1)}{x^{2}-1}.
O conteúdo aplicado será cálculo de limites, uso da substituição u=x-1, fatoração de polinômios e o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1.

Passo 2

Façamos a substituição
u = x-1,
então x=1+u e, quando x\to1, temos u\to0. O denominador fica
x^{2}-1=(1+u)^{2}-1=2u+u^{2}=u\,(2+u).
Assim
\frac{e^{x}\,\tan(x-1)}{x^{2}-1} =\frac{e^{1+u}\,\tan u}{u\,(2+u)}.

Passo 3

Reescrevemos separando os fatores de forma conveniente:
\frac{e^{1+u}\,\tan u}{u\,(2+u)} =\frac{e^{1+u}}{2+u}\,\cdot\frac{\tan u}{u}.

Passo 4

Agora aplicamos os limites conhecidos à medida que u\to0:
e^{1+u}\to e^{1}=e, \qquad 2+u\to2, \qquad \frac{\tan u}{u}\to1.
Logo
\lim_{u\to0}\frac{e^{1+u}}{2+u}\,\cdot\frac{\tan u}{u} =\frac{e}{2}\cdot1 =\frac{e}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{e}{2}

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