Considere a função f: R (0,1], definida por f(x)=11+|x|
Prove que f é sobrejetora

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow (0,1] $, definida por $ f(x) = \frac{1}{1 + |x|} $, é sobrejetora. Isso significa que queremos mostrar que todo número no intervalo $ (0,1] $ é imagem de pelo menos um número real através dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções, valores absolutos e propriedades de sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa sobrejetora. Uma função $ f: A \rightarrow B $ é sobrejetora se, para todo $ y $ em $ B $, existe pelo menos um $ x $ em $ A $ tal que $ f(x) = y $. No nosso caso, $ A = \mathbb{R} $ e $ B = (0,1] $.

Passo 3

Vamos considerar um número qualquer $ y $ no intervalo $ (0,1] $. Nosso objetivo é encontrar um $ x $ real que satisfaça $ f(x) = y $, ou seja:
y

Passo 4

Vamos resolver essa equação para $ x $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ 1 + |x| $:
x

Passo 5

Em seguida, dividimos ambos os lados por $ y $ (como $ y > 0 $):
y

Passo 6

Agora, subtraímos 1 de ambos os lados para isolar $ |x| $:
|x|
1y - 1 = |x|

Passo 7

Como $ |x| $ representa o valor absoluto de $ x $, podemos ter duas soluções para $ x $:
|x|

Resposta

Assim, para todo $ y $ em $ (0,1] $, existe pelo menos um $ x $ real que satisfaz $ f(x) = y $. Portanto, a função $ f(x) = \frac{1}{1 + |x|} $ é sobrejetora.

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