Considere a função
, definida por
Prove que f é sobrejetora
Prove que f é sobrejetora
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow (0,1] $, definida por $ f(x) = \frac{1}{1 + |x|} $, é sobrejetora. Isso significa que queremos mostrar que todo número no intervalo $ (0,1] $ é imagem de pelo menos um número real através dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções, valores absolutos e propriedades de sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa sobrejetora. Uma função $ f: A \rightarrow B $ é sobrejetora se, para todo $ y $ em $ B $, existe pelo menos um $ x $ em $ A $ tal que $ f(x) = y $. No nosso caso, $ A = \mathbb{R} $ e $ B = (0,1] $.
Passo 3
Vamos considerar um número qualquer $ y $ no intervalo $ (0,1] $. Nosso objetivo é encontrar um $ x $ real que satisfaça $ f(x) = y $, ou seja:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para $ x $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ 1 + |x| $:
Passo 5
Em seguida, dividimos ambos os lados por $ y $ (como $ y > 0 $):
Passo 6
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados para isolar $ |x| $:
Passo 7
Como $ |x| $ representa o valor absoluto de $ x $, podemos ter duas soluções para $ x $:
Resposta
Assim, para todo $ y $ em $ (0,1] $, existe pelo menos um $ x $ real que satisfaz $ f(x) = y $. Portanto, a função $ f(x) = \frac{1}{1 + |x|} $ é sobrejetora.