Derive as funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \frac{3x^{2} - x + 2}{4x^{2} + 5} $. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com a derivada de uma função que é uma fração de polinômios. Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente, que é essencial quando temos uma função dividida por outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se temos uma função $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada dela é dada por:
Ou seja, a derivada da fração é a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.
Passo 3
Vamos identificar $ u(x) $ e $ v(x) $ na nossa função:
Agora precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.
Passo 4
Derivando $ u(x) $:
Derivando $ v(x) $:
Passo 5
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Vamos expandir os termos no numerador:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Agora, vamos simplificar o numerador.
Passo 8
Simplificando o numerador:
Passo 9
Então, a derivada simplificada fica:
Resposta
A derivada da função é