Derive as funções
f(x)=3 x^2-x+24 x^2+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \frac{3x^{2} - x + 2}{4x^{2} + 5} $. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com a derivada de uma função que é uma fração de polinômios. Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente, que é essencial quando temos uma função dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se temos uma função $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada dela é dada por:
u(x)v(x)
Ou seja, a derivada da fração é a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 3

Vamos identificar $ u(x) $ e $ v(x) $ na nossa função:
u(x)
v(x)
Agora precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.

Passo 4

Derivando $ u(x) $:
u(x)
Derivando $ v(x) $:
u'(x) = ddx(3x^2) - ddx(x) + ddx(2) = 6x - 1 + 0 = 6x - 1

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:
f'(x) = u'v - uv'v^2 = (6x - 1)(4x^2 + 5) - (3x^2 - x + 2)(8x)(4x^2 + 5)^2

Passo 6

Vamos expandir os termos no numerador:
(6x - 1)(4x^2 + 5) = 6x cdot 4x^2 + 6x cdot 5 - 1 cdot 4x^2 - 1 cdot 5 = 24x^3 + 30x - 4x^2 - 5
(3x^2 - x + 2)(8x) = 3x^2 cdot 8x - x cdot 8x + 2 cdot 8x = 24x^3 - 8x^2 + 16x

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(x) = (24x^3 + 30x - 4x^2 - 5) - (24x^3 - 8x^2 + 16x)(4x^2 + 5)^2
Agora, vamos simplificar o numerador.

Passo 8

Simplificando o numerador:
24x^3 + 30x - 4x^2 - 5 - 24x^3 + 8x^2 - 16x = (24x^3 - 24x^3) + (-4x^2 + 8x^2) + (30x - 16x) - 5 = 4x^2 + 14x - 5

Passo 9

Então, a derivada simplificada fica:
f'(x) = 4x^2 + 14x - 5(4x^2 + 5)^2

Resposta

A derivada da função é
f'(x) = 4x^2 + 14x - 5(4x^2 + 5)^2

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