Determine a menor (mínima) distância do ponto ( 3,0 ) à hipérbole
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Passo 1
O problema pede pra achar a menor distância do ponto (3,0) até a hipérbole definida por y²−x²=18. Vamos usar otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange) e a fórmula da distância no plano.
Passo 2
Como a distância D de um ponto (x,y) até (3,0) é dada por D=√[(x−3)²+y²], fica mais fácil trabalhar com o quadrado da distância. Definimos
e a restrição da hipérbole
Passo 3
Agora aplicamos o método de multiplicadores de Lagrange: exigimos
Passo 4
Calculando os gradientes temos
Então
Passo 5
Da segunda equação vem ou y=0 ou λ=1. Se y=0, a restrição y²−x²=18 não tem solução real. Então λ=1 e da primeira equação:
Passo 6
Da restrição y²−(3/2)²=18 obtemos
Passo 7
Temos dois pontos na hipérbole que minimizam a distância: (3/2,9/2) e (3/2,−9/2). Basta calcular a distância em qualquer um deles:
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Resposta
A menor distância é
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