Determine a menor (mínima) distância do ponto ( 3,0 ) à hipérbole y^2-x^2=18.

Passo 1

O problema pede pra achar a menor distância do ponto (3,0) até a hipérbole definida por y²−x²=18. Vamos usar otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange) e a fórmula da distância no plano.

Passo 2

Como a distância D de um ponto (x,y) até (3,0) é dada por D=√[(x−3)²+y²], fica mais fácil trabalhar com o quadrado da distância. Definimos
f(x,y)=(x-3)^2+y^2,
e a restrição da hipérbole
g(x,y)=y^2-x^2-18=0

Passo 3

Agora aplicamos o método de multiplicadores de Lagrange: exigimos
nabla f(x,y)=lambda,nabla g(x,y)

Passo 4

Calculando os gradientes temos
nabla f=(2(x-3),,2y),nabla g=(-2x,,2y)
Então
2(x-3)=lambda(-2x), 2y=lambda(2y)

Passo 5

Da segunda equação vem ou y=0 ou λ=1. Se y=0, a restrição y²−x²=18 não tem solução real. Então λ=1 e da primeira equação:
2(x-3)=-2x Rightarrow x-3=-x Rightarrow 2x=3 Rightarrow x=3/2

Passo 6

Da restrição y²−(3/2)²=18 obtemos
y^2=18+94=814 Rightarrow y=pm92

Passo 7

Temos dois pontos na hipérbole que minimizam a distância: (3/2,9/2) e (3/2,−9/2). Basta calcular a distância em qualquer um deles:
D^2=(tfrac32-3)^2+l(tfrac92r)^2=l(-tfrac32r)^2+l(tfrac92r)^2=94+814=904=452,
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D=raiztfrac452=3raiz102

Resposta

A menor distância é tfrac3raiz102.

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