Dados conjuntos A, B e C em universo U, mostre que:
B subset C (A cap B) subset(A cap C).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três conjuntos: $ A $, $ B $ e $ C $ dentro de um universo $ U $. A tarefa é mostrar que se $ B $ é um subconjunto de $ C $ (ou seja, $ B \subset C $), então a interseção de $ A $ com $ B $ também é um subconjunto da interseção de $ A $ com $ C $ (ou seja, $ (A \cap B) \subset (A \cap C) $). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de subconjunto e interseção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa $ B \subset C $. Isso quer dizer que todo elemento que está em $ B $ também está em $ C $. Em outras palavras, não existe um elemento em $ B $ que não esteja em $ C $.

Passo 3

Agora, vamos considerar a interseção $ A \cap B $. Por definição, um elemento $ x $ pertence a $ A \cap B $ se, e somente se, $ x $ está em $ A $ e $ x $ está em $ B $. Ou seja:
A cap B

Passo 4

Sabemos que $ B \subset C $. Então, se $ x $ está em $ B $, automaticamente $ x $ também está em $ C $. Portanto, se $ x $ está em $ A \cap B $, além de estar em $ A $, ele também está em $ C $.

Passo 5

Com isso, podemos concluir que:
x in (A cap B) implies x in A e x in C
O que significa que $ x $ pertence a $ A \cap C $.

Passo 6

Assim, todo elemento que está em $ A \cap B $ também está em $ A \cap C $. Portanto, $ A \cap B $ é um subconjunto de $ A \cap C $.

Resposta

Portanto, mostramos que se $ B \subset C $, então $ (A \cap B) \subset (A \cap C) $.

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