Considere a função
dada por
a) Construa o gráfico de
;
b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:
i)
ii)
iii)
b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:
i)
ii)
iii)
Passo 1
Beleza, parceiro! A gente tem uma função por partes
e o que a questão pede é:
a) Desenhar o gráfico dessa função;
b) Calcular os limites
i) ,
ii) ,
iii) .
a) Desenhar o gráfico dessa função;
b) Calcular os limites
i)
ii)
iii)
Conteúdo: funções definidas por pedaços e limites laterais.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Saber traçar uma reta
. - Saber traçar uma parábola
. - Entender o conceito de limite lateral (vindo da direita ou da esquerda).
Passo 2
– Gráfico da parte quadrática (
):
A função é , que é uma parábola “de cima”.
• Vértice: , e
. Então vértice em
.
• Alguns pontos:
– →
– →
– , mas como esse ramo só vale para
, em
a gente coloca ponto aberto em
.
Desenha a parábola passando por esses pontos, sem incluir .
A função é
• Vértice:
• Alguns pontos:
–
–
–
Desenha a parábola passando por esses pontos, sem incluir
Passo 3
– Gráfico da parte linear (
):
A função é .
• Para :
. Aqui é ponto fechado
porque vale em
.
• Para :
→
• Para :
→
Une esses pontos e estende a reta para .
A função é
• Para
• Para
• Para
Une esses pontos e estende a reta para
Resultado do gráfico:
- Para
, a parábola com ponto aberto em . - Para
, a reta com ponto fechado em .
Passo 4
Agora, limites laterais em
. Lembre que
é o valor que
se aproxima quando
vem de números maiores que 3,
e é quando
vem de números menores que 3.
e
i)
Para usamos
.
Para
ii)
Para usamos
.
Para
Passo 5
Para existir
os dois limites laterais têm que ser iguais.
Aqui a gente achou e
.
Como , o limite
não existe.
Aqui a gente achou
Como
Resposta
a) Gráfico:
- Ramo da parábola
para com ponto aberto em . - Ramo da reta
para com ponto fechado em .
b)
i)
ii)
iii) não existe.
i)
ii)
iii)