Considere a função f: R R dada por
f(x)=rll 2 x+1 & se & x >= 3 x^2-4 x+6 & se & x<3
a) Construa o gráfico de f;
b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:
i) lim x 3^+ f(x)
ii) lim x 3^- f(x)
iii) lim x 3 f(x)

Passo 1

Beleza, parceiro! A gente tem uma função por partes
f(x)= 2x+1, & x>=3, x^2-4x+6, & x<3,
e o que a questão pede é:
a) Desenhar o gráfico dessa função;
b) Calcular os limites
i) limxto3^+f(x),
ii) limxto3^-f(x),
iii) limxto3f(x).
Conteúdo: funções definidas por pedaços e limites laterais.
O que vamos precisar:
  1. Saber traçar uma reta y=2x+1.
  2. Saber traçar uma parábola y=x^2-4x+6.
  3. Entender o conceito de limite lateral (vindo da direita ou da esquerda).

Passo 2

– Gráfico da parte quadrática ( x<3):
A função é g(x)=x^2-4x+6, que é uma parábola “de cima”.
• Vértice: xv=-b2a=--42cdot1=2, e g(2)=2^2-8+6=2. Então vértice em (2,2).
• Alguns pontos:
g(1)=1-4+6=3 (1,3)
g(0)=6 (0,6)
g(3)=9-12+6=3, mas como esse ramo só vale para x<3, em x=3 a gente coloca ponto aberto em (3,3).
Desenha a parábola passando por esses pontos, sem incluir (3,3).

Passo 3

– Gráfico da parte linear ( x>=3):
A função é h(x)=2x+1.
• Para x=3: h(3)=2cdot3+1=7. Aqui é ponto fechado (3,7) porque vale em >=3.
• Para x=4: h(4)=9 (4,9)
• Para x=5: h(5)=11 (5,11)
Une esses pontos e estende a reta para x>=3.
Resultado do gráfico:
  • Para x<3, a parábola x^2-4x+6 com ponto aberto em (3,3).
  • Para x>=3, a reta 2x+1 com ponto fechado em (3,7).

Passo 4

Agora, limites laterais em x=3. Lembre que
limxto3^+f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x vem de números maiores que 3,
e limxto3^-f(x) é quando x vem de números menores que 3.
i) limxto3^+f(x)
Para x>3 usamos f(x)=2x+1.
limxto3^+(2x+1)=2cdot3+1=7
ii) limxto3^-f(x)
Para x<3 usamos f(x)=x^2-4x+6.
limxto3^-(x^2-4x+6) =3^2-4cdot3+6 =9-12+6 =3

Passo 5

Para existir limxto3f(x) os dois limites laterais têm que ser iguais.
Aqui a gente achou limxto3^+f(x)=7 e limxto3^-f(x)=3.
Como 7neq3, o limite limxto3f(x) não existe.

Resposta

a) Gráfico:
  • Ramo da parábola y=x^2-4x+6 para x<3 com ponto aberto em (3,3).
  • Ramo da reta y=2x+1 para x>=3 com ponto fechado em (3,7).
b)
i) limxto3^+f(x)=7
ii) limxto3^-f(x)=3
iii) limxto3f(x) não existe.

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