Considere a função
dada por
a) Construa o gráfico de
;
b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:
i)
ii)
iii)
b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:
i)
ii)
iii)
Passo 1
O exercício define a função f: ℝ→ℝ dada por duas expressões, uma para x≥2 e outra para x<2. O conteúdo aqui é funções definidas por partes, esboço de gráfico e limites laterais. Para resolver, vamos primeiro entender cada ramo da função, depois esboçar o gráfico e, por fim, calcular os limites laterais e o limite geral em x→2.
Passo 2
Para x<2 temos f(x)=x²−2x+1. Reconhecemos que x²−2x+1 é a mesma coisa que
, que é uma parábola com vértice em
. Quando x se aproxima de 2 pelo lado esquerdo, o valor de f(x) tende a
. Nessa parte, vamos marcar no gráfico a parábola até quase x=2, mas deixando um ponto aberto em
.
Passo 3
Para x≥2 temos f(x)=x³, que é uma função cúbica clássica (cresce rápido). Em x=2, ela vale f(2)=2³=8. Como esse ramo inclui x=2, colocamos um ponto fechado em
e seguimos a curva cúbica para x>2.
Passo 4
Esboço do gráfico: de um lado (x<2) desenhamos a parábola
indo até o ponto aberto em
. Do outro lado (x≥2) desenhamos a cúbica x³ começando no ponto fechado em
. Assim fica claro o “salto” da função em x=2.
Passo 5
Agora vamos aos limites. (i) O limite pela direita é
. Para x>2 usamos f(x)=x³, então
Passo 6
Passo 7
(ii) O limite pela esquerda é
. Para x<2 usamos f(x)=(x−1)², logo
Passo 8
Passo 9
(iii) O limite geral
só existe se os limites laterais coincidirem. Mas como já vimos,
Passo 10
Passo 11
os limites laterais são diferentes, logo o limite
não existe.
Resposta
a) O gráfico é a parábola
para
com ponto aberto em
e a cúbica
para
com ponto fechado em
. b) (i) 8, (ii) 1, (iii) não existe (os limites laterais são diferentes).