Considere a função f: R R dada por
f(x)=rll x^3 & se & x >= 2 x^2-2 x+1 & se & x<2
a) Construa o gráfico de f;
b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:
i) lim x 2^+ f(x)
ii) lim x 2^- f(x)
iii) lim x 2 f(x)

Passo 1

O exercício define a função f: ℝ→ℝ dada por duas expressões, uma para x≥2 e outra para x<2. O conteúdo aqui é funções definidas por partes, esboço de gráfico e limites laterais. Para resolver, vamos primeiro entender cada ramo da função, depois esboçar o gráfico e, por fim, calcular os limites laterais e o limite geral em x→2.

Passo 2

Para x<2 temos f(x)=x²−2x+1. Reconhecemos que x²−2x+1 é a mesma coisa que (x−1)²², que é uma parábola com vértice em (1,0). Quando x se aproxima de 2 pelo lado esquerdo, o valor de f(x) tende a (2−1)²=1². Nessa parte, vamos marcar no gráfico a parábola até quase x=2, mas deixando um ponto aberto em (2,1).

Passo 3

Para x≥2 temos f(x)=x³, que é uma função cúbica clássica (cresce rápido). Em x=2, ela vale f(2)=2³=8. Como esse ramo inclui x=2, colocamos um ponto fechado em (2,8) e seguimos a curva cúbica para x>2.

Passo 4

Esboço do gráfico: de um lado (x<2) desenhamos a parábola (x−1)²² indo até o ponto aberto em (2,1). Do outro lado (x≥2) desenhamos a cúbica x³ começando no ponto fechado em (2,8). Assim fica claro o “salto” da função em x=2.

Passo 5

Agora vamos aos limites. (i) O limite pela direita é limxto2^+f(x). Para x>2 usamos f(x)=x³, então

Passo 6

limxto2^+f(x)=limxto2^+x^3=2^3=8

Passo 7

(ii) O limite pela esquerda é limxto2^-f(x). Para x<2 usamos f(x)=(x−1)², logo

Passo 8

limxto2^-f(x)=limxto2^-(x−1)^2=(2−1)^2=1

Passo 9

(iii) O limite geral limxto2f(x) só existe se os limites laterais coincidirem. Mas como já vimos,

Passo 10

limxto2^+f(x)=8neq1=limxto2^-f(x),

Passo 11

os limites laterais são diferentes, logo o limite limxto2f(x) não existe.

Resposta

a) O gráfico é a parábola (x−1)^2 para x<2 com ponto aberto em (2,1) e a cúbica x^3 para x>=2 com ponto fechado em (2,8). b) (i) 8, (ii) 1, (iii) não existe (os limites laterais são diferentes).

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