Efetue a antidiferenciação.
33.
integral 2 sen x raiz[2]1+cos x d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada de
integral 2sin xraiz1+cos x,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, aproveitando que a derivada de cos x é -sin x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + cos x,
então
du = -sin x,dx Longrightarrow sin x,dx = -,du

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
integral 2sin xraiz1+cos x,dx = 2integral raizu,(sin x,dx) = 2integral raizu,(-du) = -2integral u^tfrac12,du
Agora integramos:
-2integral u^tfrac12,du = -2cdotu^tfrac32tfrac32 = -2cdot23,u^tfrac32 = -43,u^tfrac32

Passo 4

Voltando à variável x, temos
u^tfrac32 = l(1+cos xr)^tfrac32
Logo a antiderivada é
-43l(1+cos xr)^tfrac32 + C

Resposta

-43l(1+cos xr)^tfrac32 + C

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