Considere a função
dada por
.
Determine se os pontos críticos de f são pontos de máximo, mínimo ou de inflexão.
Determine se os pontos críticos de f são pontos de máximo, mínimo ou de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede para a função f(x)=2x3–x2–x+5 identificarmos os pontos críticos e usarmos o teste da segunda derivada para classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. O conteúdo envolvido é derivação de funções polinomiais, cálculo de pontos críticos (onde f’(x)=0) e teste de concavidade via f’’(x).
Passo 2
Calcular a primeira derivada f’(x). Aplicando regra do poder e soma:
Passo 3
Determinar os pontos críticos resolvendo f’(x)=0. Temos a equação quadrática 6x^2-2x-1=0. Usando fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Calcular a segunda derivada f’’(x) para o teste de concavidade:
Passo 5
Avaliar f’’(x) em cada ponto crítico:
Para x_1=\frac{1+\sqrt7}{6}:
Para x_1=\frac{1+\sqrt7}{6}:
logo f é côncava para cima e x_1 é mínimo local.
Passo 6
Para x_2=\frac{1-\sqrt7}{6}:
logo f é côncava para baixo e x_2 é máximo local.
Resposta
Os pontos críticos são x=\tfrac{1+\sqrt7}{6}, que é mínimo local, e x=\tfrac{1-\sqrt7}{6}, que é máximo local. Não há ponto de inflexão entre os pontos críticos.