Considere a função f: R R dada por f(x)=2 x^3-x^2-x+5.
Determine se os pontos críticos de f são pontos de máximo, mínimo ou de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=2x3–x2–x+5 identificarmos os pontos críticos e usarmos o teste da segunda derivada para classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. O conteúdo envolvido é derivação de funções polinomiais, cálculo de pontos críticos (onde f’(x)=0) e teste de concavidade via f’’(x).

Passo 2

Calcular a primeira derivada f’(x). Aplicando regra do poder e soma:
f'(x)=ddx(2x^3) - ddx(x^2) - ddx(x) + ddx(5)=6x^2-2x-1

Passo 3

Determinar os pontos críticos resolvendo f’(x)=0. Temos a equação quadrática 6x^2-2x-1=0. Usando fórmula de Bhaskara:
x=2pmraiz(-2)^2-4cdot6cdot(-1)2cdot6=2pmraiz4+2412=2pm2raiz712=1pmraiz76

Passo 4

Calcular a segunda derivada f’’(x) para o teste de concavidade:
f''(x)=ddx(6x^2-2x-1)=12x-2

Passo 5

Avaliar f’’(x) em cada ponto crítico:
Para x_1=\frac{1+\sqrt7}{6}:
f''l(x1r)=12cdot1+raiz76-2=2(1+raiz7)-2=2raiz7>0,
logo f é côncava para cima e x_1 é mínimo local.

Passo 6

Para x_2=\frac{1-\sqrt7}{6}:
f''l(x2r)=12cdot1-raiz76-2=2(1-raiz7)-2=-2raiz7<0,
logo f é côncava para baixo e x_2 é máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são x=\tfrac{1+\sqrt7}{6}, que é mínimo local, e x=\tfrac{1-\sqrt7}{6}, que é máximo local. Não há ponto de inflexão entre os pontos críticos.

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