Dê a equação da reta tangente à curva
2 x^2+x y+y^2=4
no ponto(1,1).

Passo 1

Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a diferenciação implícita, já que a equação envolve tanto quanto . Precisaremos encontrar a derivada para determinar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddx(2x^2) + ddx(xy) + ddx(y^2) = ddx(4) . Lembrando que é uma função de , ao diferenciar termos que envolvem precisamos aplicar a regra da cadeia.
Diferenciando termo a termo:

Passo 3

Calculando as derivadas de cada termo:
2 cdot 2x + ( x dydx + y cdot 1 ) + 2y dydx = 0
Simplificando:
4x + y + (x + 2y) dydx = 0

Passo 4

Vamos isolar (x + 2y) dydx = -4x - y :
dydx = -4x - yx + 2y
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos o ponto dydx g|(1,1) = -4(1) - 11 + 2(1) = -53 na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:

Passo 6

Com a inclinação y - y1 = m(x - x1) e o ponto y - 1 = -53(x - 1) , usamos a forma da equação da reta tangente:
y = -53x + 83
Substituindo os valores:
Simplificando a equação:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto y = -53x + 83 é:

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