Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a diferenciação implícita, já que a equação envolve tanto quanto . Precisaremos encontrar a derivada para determinar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , ao diferenciar termos que envolvem precisamos aplicar a regra da cadeia.
Diferenciando termo a termo:
Passo 3
Calculando as derivadas de cada termo:
Simplificando:
Passo 4
Vamos isolar :
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos o ponto na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Passo 6
Com a inclinação y - y1 = m(x - x1) e o ponto y - 1 = -53(x - 1) , usamos a forma da equação da reta tangente:
y = -53x + 83
Substituindo os valores:
Simplificando a equação:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto y = -53x + 83 é: