Seja
f(x, y)=cl (x^2+y^2) sin (1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0)
É f continua na origem?

Passo 1

A questão define a função f(x,y)=(x^2+y^2),sinl(1/(x^2+y^2)r)&se (x,y)neq(0,0),0&se (x,y)=(0,0) e pergunta se ela é contínua na origem. O que precisamos lembrar é a definição de continuidade em duas variáveis: f é contínua em (0,0) se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0.

Passo 2

Para mostrar que o limite vale zero, usamos o teorema do sanduíche. Primeiro notamos que sempre vale |sin(t)|<=1 para qualquer t, logo
|f(x,y)|=|(x^2+y^2),sin(1/(x^2+y^2))|<=(x^2+y^2),|sin(1/(x^2+y^2))|<= x^2+y^2

Passo 3

Como sabemos que lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)=0, o teorema do sanduíche implica que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 4

Esse valor coincide com f(0,0), então concluímos que f é contínua na origem.

Resposta

Sim. A função é contínua em (0,0).

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