Considere a função
dada por
.
- O gráfico dessa função admite retas tangentes horizontais?
- Qual é o menor coeficiente angular que uma reta tangente a essa curva pode ter?
- Qual a equação da reta tangente de menor coeficiente angular?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que estamos estudando é $ f(x) = 5x + x^5 $. Vamos analisar três perguntas:
- O gráfico dessa função admite retas tangentes horizontais?
- Qual é o menor coeficiente angular que uma reta tangente a essa curva pode ter?
- Qual a equação da reta tangente de menor coeficiente angular?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação (coeficiente angular) das retas tangentes a uma curva em qualquer ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente horizontal.
Uma reta tangente horizontal tem inclinação (coeficiente angular) igual a zero. Para encontrar se existem tais retas na curva de $ f(x) $, precisamos encontrar os pontos onde a derivada de $ f(x) $ é igual a zero.
A derivada de $ f(x) $, que representa a inclinação da tangente em cada ponto $ x $, é:
Passo 3
Agora, vamos responder à primeira pergunta: existem retas tangentes horizontais?
Para isso, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para $ x $:
Aqui, percebemos que $ x^4 $ é igual a -1. Porém, qualquer número real elevado à quarta potência é sempre não negativo, ou seja, $ x^4 \geq 0 $. Portanto, não existe nenhum número real que satisfaça $ x^4 = -1 $. Isso significa que não existem retas tangentes horizontais no gráfico dessa função.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda pergunta: qual é o menor coeficiente angular que uma reta tangente a essa curva pode ter?
Sabemos que a derivada $ f’(x) = 5 + 5x^4 $ nos dá a inclinação das tangentes para qualquer valor de $ x $. Queremos encontrar o menor valor possível dessa derivada.
Vamos analisar a expressão $ f’(x) = 5 + 5x^4 $. Observamos que $ x^4 \geq 0 $ para todo $ x $ real. Portanto, o menor valor que $ f’(x) $ pode ter ocorre quando $ x^4 $ é mínimo, ou seja, quando $ x^4 = 0 $.
Então:
Portanto, o menor coeficiente angular que uma reta tangente a essa curva pode ter é 5.
Passo 5
Finalmente, vamos para a terceira pergunta: qual a equação da reta tangente de menor coeficiente angular?
Sabemos que o menor coeficiente angular é 5, e isso ocorre quando $ x^4 = 0 $, ou seja, quando $ x = 0 $.
Vamos encontrar o ponto de tangência quando $ x = 0 $:
Então, o ponto é $ (0, 0) $.
Agora, usando a forma da equação da reta tangente:
Onde $ a = 0 $, $ f’(0) = 5 $, e $ f(0) = 0 $. Substituindo:
Resposta
- Não, o gráfico da função $ f(x) = 5x + x^5 $ não admite retas tangentes horizontais.
- O menor coeficiente angular que uma reta tangente a essa curva pode ter é 5.
- A equação da reta tangente de menor coeficiente angular é $ y = 5x $.