A equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x)=2(x^2-1)e^x+1+sin (x) cos (x)
em x=0 é

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x) = 2(x^2 - 1)e^x + 1 + sin(x) cos(x)
no ponto onde $ x = 0 $. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função $ f(x) $ quando $ x = 0 $. Isso vai nos dar o ponto pelo qual a reta tangente passa.
Substituindo $ x = 0 $ na função:
f(x)
Simplificando:
x = 0
Então, o ponto é $ (0, -1) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) $, que nos dá a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 0 $.
A função é:
f(x)
Vamos derivar cada parte separadamente.
Primeiro, derivamos $ \frac{2(x^{2} - 1)}{e^{x} + 1} $. Usamos a regra do quociente:
x = 0
onde $ u = 2(x^{2} - 1) $ e $ v = e^{x} + 1 $.
Calculando $ u’ $ e $ v’ $:
f(x) = 2(x^2 - 1)e^x + 1 + sin(x) cos(x)
Então:
2(x^2 - 1)e^x + 1
Agora, derivamos $ \sin(x) \cos(x) $. Usamos a regra do produto:
ddx[uv] = u'v - uv'v^2
Ou, de forma alternativa, reconhecendo que $ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $, podemos escrever:
u = 2(x^2 - 1)

Passo 4

Vamos agora avaliar a derivada em $ x = 0 $.
Primeiro, para a parte $ \frac{4x(e^{x} + 1) - 2(x^{2} - 1)e{x}}{(e{x} + 1)^{2}} $, substituindo $ x = 0 $:
x = 0
Para a parte $ \frac{1}{2} \sin(2x) $, substituindo $ x = 0 $:
4x(e^x + 1) - 2(x^2 - 1)e^x(e^x + 1)^2
Somando as duas partes:
x = 0

Passo 5

Agora que temos $ f(0) = -1 $ e $ f’(0) = \frac{1}{2} $, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula:
f(0) = -1
onde $ a = 0 $.
Substituindo:
f'(0) = 12

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 12x - 1

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