A equação da reta tangente ao gráfico da função
em
é
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde $ x = 0 $. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função $ f(x) $ quando $ x = 0 $. Isso vai nos dar o ponto pelo qual a reta tangente passa.
Substituindo $ x = 0 $ na função:
Simplificando:
Então, o ponto é $ (0, -1) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) $, que nos dá a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 0 $.
A função é:
Vamos derivar cada parte separadamente.
Primeiro, derivamos $ \frac{2(x^{2} - 1)}{e^{x} + 1} $. Usamos a regra do quociente:
onde $ u = 2(x^{2} - 1) $ e $ v = e^{x} + 1 $.
Calculando $ u’ $ e $ v’ $:
Então:
Agora, derivamos $ \sin(x) \cos(x) $. Usamos a regra do produto:
Ou, de forma alternativa, reconhecendo que $ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $, podemos escrever:
Passo 4
Vamos agora avaliar a derivada em $ x = 0 $.
Primeiro, para a parte $ \frac{4x(e^{x} + 1) - 2(x^{2} - 1)e{x}}{(e{x} + 1)^{2}} $, substituindo $ x = 0 $:
Para a parte $ \frac{1}{2} \sin(2x) $, substituindo $ x = 0 $:
Somando as duas partes:
Passo 5
Agora que temos $ f(0) = -1 $ e $ f’(0) = \frac{1}{2} $, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula:
onde $ a = 0 $.
Substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente é