Sejam
uma função diferenciável e
. Sabendo que
e
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ g(x) = \frac{f(x) \sin(x)}{x-1} - \frac{e^{x}}{f(x)} $ onde $ f $ é diferenciável. Sabemos que $ f(0) = 1 $ e $ f’(0) = 4 $. Nosso objetivo é encontrar a derivada de $ g $ em $ x = 0 $, ou seja, $ g’(0) $. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada parte de $ g(x) $ separadamente. Temos duas partes: $ \frac{f(x) \sin(x)}{x-1} $ e $ \frac{e^{x}}{f(x)} $.
Para a primeira parte, usamos a regra do quociente:
Agora, derivamos $ f(x) \sin(x) $ usando a regra do produto:
Então, substituindo de volta:
Passo 3
Para a segunda parte, $ \frac{e^{x}}{f(x)} $, também usamos a regra do quociente:
Passo 4
Agora, juntamos as duas derivadas para encontrar $ g’(x) $:
Passo 5
Queremos $ g’(0) $, então substituímos $ x = 0 $ e usamos os valores dados $ f(0) = 1 $ e $ f’(0) = 4 $:
Primeira parte:
Segunda parte:
Resposta
Somando as duas partes:
Então, $ g’(0) = 2 $.