Sejam f: R R uma função diferenciável e g(x)=f(x) sin (x)x-1-e^xf(x). Sabendo que f(0)=1 e f^prime(0)=4, determine g^prime(0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ g(x) = \frac{f(x) \sin(x)}{x-1} - \frac{e^{x}}{f(x)} $ onde $ f $ é diferenciável. Sabemos que $ f(0) = 1 $ e $ f’(0) = 4 $. Nosso objetivo é encontrar a derivada de $ g $ em $ x = 0 $, ou seja, $ g’(0) $. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada parte de $ g(x) $ separadamente. Temos duas partes: $ \frac{f(x) \sin(x)}{x-1} $ e $ \frac{e^{x}}{f(x)} $.
Para a primeira parte, usamos a regra do quociente:
g(x)
Agora, derivamos $ f(x) \sin(x) $ usando a regra do produto:
f(x) sin(x)x-1
Então, substituindo de volta:
e^xf(x)

Passo 3

Para a segunda parte, $ \frac{e^{x}}{f(x)} $, também usamos a regra do quociente:
e^xf(x)

Passo 4

Agora, juntamos as duas derivadas para encontrar $ g’(x) $:
g'(x)

Passo 5

Queremos $ g’(0) $, então substituímos $ x = 0 $ e usamos os valores dados $ f(0) = 1 $ e $ f’(0) = 4 $:
Primeira parte:
g'(0)
Segunda parte:
x = 0

Resposta

Somando as duas partes:
g'(0) = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2
Então, $ g’(0) = 2 $.

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