Considere a função f: R^2 R dada por f(x, y)=e^x y-1.
Aplique o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos da função f sobre a circunferência dada por x^2+y^2=8.

Passo 1

Estamos diante de uma função de duas variáveis com restrição na circunferência e queremos usar multiplicadores de Lagrange para achar extremos de f(x,y)=e^xy-1 sujeito a g(x,y)=x^2+y^2-8=0. Vamos precisar do gradiente de f e do gradiente de g.

Passo 2

Calculamos os gradientes e montamos o sistema de Lagrange. Temos
nabla f=(y e^xy,;x e^xy), nabla g=(2x,;2y)
Logo, o método pede
nabla f=lambda,nabla g,
o que gera o sistema
y e^xy=2lambda x, x e^xy=2lambda y, x^2+y^2=8

Passo 3

Para resolver, dividimos as duas primeiras equações (desde que xyneq0):
y e^xyx e^xy=2lambda x2lambda y Longrightarrow yx= xy Longrightarrow y^2=x^2 Longrightarrow y=pm x
Substituindo em x^2+y^2=8 2x^2=8 e x=pm2. Assim surgem quatro pontos críticos:
$$(2,2),😭-2,-2),;(2,-2),😭-2,2).
$$

Passo 4

Agora avaliamos f nesses pontos:
Para (2,2) e (-2,-2) temos xy=4 então
f=e^4-1,
é o maior valor. Para (2,-2) e (-2,2) temos xy=-4 então
f=e^-4-1,
é o menor valor. Como a circunferência é um conjunto compacto e f é contínua, esses são os extremos globais.

Passo 5

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