Considere a função
dada por
.
Aplique o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos da função
sobre a circunferência dada por
.
Aplique o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos da função
Passo 1
Estamos diante de uma função de duas variáveis com restrição na circunferência e queremos usar multiplicadores de Lagrange para achar extremos de
sujeito a
. Vamos precisar do gradiente de
e do gradiente de
.
Passo 2
Calculamos os gradientes e montamos o sistema de Lagrange. Temos
Logo, o método pede
o que gera o sistema
Passo 3
Para resolver, dividimos as duas primeiras equações (desde que
):
Substituindo em
dá
e
. Assim surgem quatro pontos críticos:
$$(2,2),😭-2,-2),;(2,-2),😭-2,2).
$$
Passo 4
Agora avaliamos
nesses pontos:
Para e
temos
então
Para
é o maior valor. Para
e
temos
então
é o menor valor. Como a circunferência é um conjunto compacto e
é contínua, esses são os extremos globais.