Determinar a equação reduzida, a equação geral e esboçar o gráfico da parábola que satisfaz as condições:
vértice:
; foco:
vértice:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida, a equação geral e desenhar o gráfico de uma parábola que tem o vértice em $ V(2, -1) $ e o foco em $ F(5, -1) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre as parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição do vértice e do foco. O vértice está em $ (2, -1) $ e o foco em $ (5, -1) $. Observando as coordenadas, vemos que o foco está à direita do vértice, no mesmo nível vertical (mesmo valor de $ y $). Isso nos indica que a parábola abre para a direita e é horizontal.
Passo 3
Sabemos que a forma padrão da equação de uma parábola horizontal que abre para a direita é:
Aqui, $ (h, k) $ é o vértice da parábola, e $ p $ é a distância do vértice ao foco. Nesse caso, $ h = 2 $ e $ k = -1 $.
Passo 4
Vamos calcular o valor de $ p $. Como o foco está em $ (5, -1) $ e o vértice em $ (2, -1) $, a distância $ p $ é a diferença entre as coordenadas $ x $:
Isso significa que $ p = 3 $.
Passo 5
Substituindo os valores de $ h $, $ k $ e $ p $ na forma padrão da equação, temos:
Simplificando:
Essa é a equação reduzida da parábola.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação geral expandindo a equação reduzida.
Expandindo o lado esquerdo:
Rearranjando os termos para deixar a equação igualada a zero:
Então, a equação geral da parábola é:
Passo 7
Para esboçar o gráfico da parábola, seguimos os seguintes passos:
- Vértice: Marcamos o ponto $ V(2, -1) $.
- Foco: Marcamos o ponto $ F(5, -1) $ à direita do vértice.
- Diretriz: A equação da diretriz fica a uma distância $ p $ do vértice, mas para o lado oposto do foco. Como $ p = 3 $, a diretriz está em $ x = 2 - 3 = -1 $.
- Traçamos a parábola abrindo para a direita, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz.
Resposta
A equação reduzida da parábola é $ (y + 1)^2 = 12(x - 2) $. A equação geral é $ y^2 + 2y - 12x + 25 = 0 $. No gráfico, a parábola tem vértice em $ (2, -1) $, foco em $ (5, -1) $, e abre para a direita.