Determine o domínio, intervalos de monotonia e extremos locais das funções: G(x)=integralx^0 raiz1+t^4 d t

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função G(x)=integralx^0raiz1+t^4,dt: domínio, intervalos de monotonia e extremos locais. Vamos usar cálculo de derivada via Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para encontrar a monotonia, calculamos a derivada de G. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra de derivação de integral com limite variável, temos:
G'(x)=ddxintegralx^0raiz1+t^4,dt = -raiz1+x^4

Passo 3

Como raiz1+x^4>0 para todo x, segue que G'(x)<0 em ( -infty,infty ). Portanto, G é estritamente decrescente em todo o seu domínio. Uma vez que não há pontos onde G' mude de sinal (sempre negativa), não existem extremos locais.

Passo 4

Resumindo: domínio =R, monotonia decrescente em R, sem extremos locais.

Resposta

Domínio: R. Monotonia: estritamente decrescente em ( -infty,infty ). Extremos locais: não há.

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