Considere a função
definida por
a) Determine o valor de
, para que
seja contínua em
.
b) Para o valor de
determinado no item anterior,
é contínua em
?
b) Para o valor de
Passo 1
O enunciado define uma função por partes: f(x)=x²−1 para x<3 e f(x)=2a x para x≥3. O objetivo é escolher a para que f seja contínua em x=3, usando a definição de continuidade (limites laterais iguais ao valor da função) e depois verificar se, para esse a, a função é contínua em ℝ. Como cada ramo é um polinômio, sabemos que eles são contínuos em seus domínios internos.
Passo 2
Para x<3, f(x)=x²−1 é um polinômio. Logo o limite à esquerda em x=3 é
Passo 3
Para x≥3, f(x)=2a x também é polinômio. O valor da função em x=3 e o limite à direita coincidem e valem
Passo 4
Para garantir continuidade em x=3, impomos igualdade dos limites:
Resolvendo, temos
Passo 5
Agora, como cada ramo é um polinômio (contínuo em todo ℝ) e já ajustamos a para que não haja “salto” em x=3, concluímos que com a=4/3 a função é contínua em todo ℝ.
Resposta
Para
, a função é contínua em
.