Considere a função f: R R definida por
f(x)=rr x^2-1, & se x<3 2 a x, & se x >= 3
a) Determine o valor de a, para que f seja contínua em x=3.
b) Para o valor de a determinado no item anterior, f é contínua em R ?

Passo 1

O enunciado define uma função por partes: f(x)=x²−1 para x<3 e f(x)=2a x para x≥3. O objetivo é escolher a para que f seja contínua em x=3, usando a definição de continuidade (limites laterais iguais ao valor da função) e depois verificar se, para esse a, a função é contínua em ℝ. Como cada ramo é um polinômio, sabemos que eles são contínuos em seus domínios internos.

Passo 2

Para x<3, f(x)=x²−1 é um polinômio. Logo o limite à esquerda em x=3 é
limxto3^-f(x)=3^2-1=8

Passo 3

Para x≥3, f(x)=2a x também é polinômio. O valor da função em x=3 e o limite à direita coincidem e valem
f(3)=2acdot3=6a

Passo 4

Para garantir continuidade em x=3, impomos igualdade dos limites:
8=6a
Resolvendo, temos
a=86=43

Passo 5

Agora, como cada ramo é um polinômio (contínuo em todo ℝ) e já ajustamos a para que não haja “salto” em x=3, concluímos que com a=4/3 a função é contínua em todo ℝ.

Resposta

Para a=tfrac43, a função é contínua em R.

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