Considere a função f: R R definida por f(x)=x^5-5 x+3.
(a) Indique os intervalos onde f é crescente ou decrescente e encontre os máximos e mínimos locais de f;
(b) Indique os intervalos onde f é côncava para baixo ou côncava para cima e encontre os pontos de inflexão;
(c) Faça o gráfico de f : Indique no desenho o comportamento de f no +infty e no -infty; os intervalos onde f é crescente ou decrescente; onde é côncava para baixo ou côncava para cima; os máximos e os mínimos locais; os pontos de inflexão.

Passo 1

Resumindo, temos f:RtoR dada por
f(x)=x^5-5x+3
Na parte (a) vamos usar a primeira derivada para definir monotonicidade e extremos locais. Na parte (b) usamos a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão. Na parte (c) esboçamos o gráfico com comportamento em pminfty, monotonicidade, concavidade, extremos e inflexões.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada pela regra de potência:
f'(x)=5x^4-5=5(x^4-1)

Passo 3

Resolvendo f'(x)=0 vem x^4-1=0, ou seja x=pm1. Para |x|>1 temos x^4>1 e assim f'(x)>0 (cresce). Para |x|<1 vem x^4<1 e f'(x)<0 (decresce). Logo
f é crescente em (-infty,-1)cup(1,infty) e f é decrescente em (-1,1) éé

Passo 4

Em x=-1, f' muda de positivo para negativo, indicando máximo local em l(-1,f(-1)r). Calculamos
f(-1)=(-1)^5-5(-1)+3=-1+5+3=7
Em x=1, f' muda de negativo para positivo, indicando mínimo local em l(1,f(1)r). Calculamos
f(1)=1^5-5cdot1+3=1-5+3=-1

Passo 5

Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(5x^4-5r)=20x^3
Zero em x=0. Para x<0, f''(x)<0 (côncavo para baixo); para x>0, f''(x)>0 (côncavo para cima). Assim
f é côncava para baixo em (-infty,0) e f é côncava para cima em (0,infty) éôéô

Passo 6

Como a concavidade muda em x=0, há ponto de inflexão em l(0,f(0)r). Calculamos
f(0)=3

Passo 7

Para esboçar o gráfico notamos que
limxtoinftyf(x)=infty e limxto-inftyf(x)=-infty. Marcamos os intervalos de crescimento e decrescimento, as regiões de concavidade, o máximo local em (-1,7), o mínimo local em (1,-1) e o ponto de inflexão em (0,3).

Resposta

(a) f é crescente em (-infty,-1)cup(1,infty) e decrescente em (-1,1). Tem máximo local em (-1,7) e mínimo local em (1,-1).
(b) f é côncava para baixo em (-infty,0) e côncava para cima em (0,infty). O ponto de inflexão é (0,3).
(c) No gráfico, limxtoinftyf(x)=infty, limxto-inftyf(x)=-infty; cresce em (-infty,-1) e (1,infty), decresce em (-1,1); côncava para baixo em (-infty,0), côncava para cima em (0,infty); máximo local em (-1,7), mínimo local em (1,-1), inflexão em (0,3).

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