Considere a função
definida por
.
(a) Indique os intervalos onde
é crescente ou decrescente e encontre os máximos e mínimos locais de
;
(b) Indique os intervalos onde
é côncava para baixo ou côncava para cima e encontre os pontos de inflexão;
(c) Faça o gráfico de
: Indique no desenho o comportamento de
no
e no
; os intervalos onde
é crescente ou decrescente; onde é côncava para baixo ou côncava para cima; os máximos e os mínimos locais; os pontos de inflexão.
(a) Indique os intervalos onde
(b) Indique os intervalos onde
(c) Faça o gráfico de
Passo 1
Resumindo, temos
dada por
Na parte (a) vamos usar a primeira derivada para definir monotonicidade e extremos locais. Na parte (b) usamos a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão. Na parte (c) esboçamos o gráfico com comportamento em
, monotonicidade, concavidade, extremos e inflexões.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada pela regra de potência:
Passo 3
Resolvendo
vem
, ou seja
. Para
temos
e assim
(cresce). Para
vem
e
(decresce). Logo
Passo 4
Em
,
muda de positivo para negativo, indicando máximo local em
. Calculamos
Em
,
muda de negativo para positivo, indicando mínimo local em
. Calculamos
Passo 5
Calculamos a segunda derivada:
Zero em
. Para
,
(côncavo para baixo); para
,
(côncavo para cima). Assim
Passo 6
Como a concavidade muda em
, há ponto de inflexão em
. Calculamos
Passo 7
Para esboçar o gráfico notamos que
e
. Marcamos os intervalos de crescimento e decrescimento, as regiões de concavidade, o máximo local em
, o mínimo local em
e o ponto de inflexão em
.
Resposta
(a)
é crescente em
e decrescente em
. Tem máximo local em
e mínimo local em
.
(b) é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. O ponto de inflexão é
.
(c) No gráfico, ,
; cresce em
e
, decresce em
; côncava para baixo em
, côncava para cima em
; máximo local em
, mínimo local em
, inflexão em
.
(b)
(c) No gráfico,