Exercício 8. Encontre uma equação da reta tangente à curva y=e^x que passa pela origem. Em qual ponto essa reta é tangente à curva?

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva y=e^x que passe pela origem (0,0). Para resolver isso precisamos usar o conceito de derivada para obter o coeficiente angular da tangente e depois impor a condição de que a reta passe pela origem.

Passo 2

Seja a o ponto onde a reta tangente toca a curva. A função é f(x)=e^x, cuja derivada é
f'(x)=e^x
No ponto x=a, o coeficiente angular da reta tangente é
m=f'(a)=e^a

Passo 3

A equação da reta tangente à curva em x=a no formato ponto-inclinação é
y - f(a) = f'(a),l(x - ar)
Como f(a)=e^a e f'(a)=e^a, temos
y - e^a = e^a(x - a)
ou seja
y = e^ax + e^a - a,e^a = e^ax + e^a(1 - a)

Passo 4

Para que essa reta passe pela origem (0,0), basta substituir x=0 e y=0 e exigir que a igualdade seja válida:
0 = e^acdot 0 + e^a(1 - a) Longrightarrow e^a(1 - a)=0
Como e^aneq 0 para todo a, concluímos
1 - a = 0 Longrightarrow a = 1

Passo 5

Substituindo a=1 na equação da reta, o coeficiente angular fica m=e^1=e e o termo independente e^1(1-1)=0. Logo a reta é
y = e,x,
e o ponto de tangência é
l(1,,e^1r)=(1,e)

Resposta

A reta tangente é y=e,x e ela toca a curva no ponto (1,e).

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