Exercício 8. Encontre uma equação da reta tangente à curva
que passa pela origem. Em qual ponto essa reta é tangente à curva?
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva
que passe pela origem
. Para resolver isso precisamos usar o conceito de derivada para obter o coeficiente angular da tangente e depois impor a condição de que a reta passe pela origem.
Passo 2
Seja
o ponto onde a reta tangente toca a curva. A função é
, cuja derivada é
No ponto
, o coeficiente angular da reta tangente é
Passo 3
A equação da reta tangente à curva em
no formato ponto-inclinação é
Como
e
, temos
ou seja
Passo 4
Para que essa reta passe pela origem
, basta substituir
e
e exigir que a igualdade seja válida:
Como
para todo
, concluímos
Passo 5
Substituindo
na equação da reta, o coeficiente angular fica
e o termo independente
. Logo a reta é
e o ponto de tangência é
Resposta
A reta tangente é
e ela toca a curva no ponto
.