Determine, caso existam, os seguintes limites:
lim x 0^+(cos (2 x))^1x.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
limxto0^+(cos(2x))^1x
Este é um caso de forma indeterminada “ 1^infty”. Para resolver, vamos usar a técnica de reescrever a expressão como uma exponencial, pois fica mais fácil aplicar o cálculo de limites de logaritmos.

Passo 2

Defina
L = limxto0^+(cos(2x))^1x
Podemos escrever
L = expl(limxto0^+ln(cos(2x))xr)
Logo, basta encontrar o limite
limxto0^+ln(cos(2x))x

Passo 3

O quociente ln(cos(2x))x é do tipo tfrac00, pois ln(cos(0))=ln(1)=0 e xto0. Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
Derivada do numerador
ddxl[ln(cos(2x))r] = 1cos(2x)cdot(-sin(2x))cdot2 = -2tan(2x),
derivada do denominador é 1. Portanto
limxto0^+ln(cos(2x))x = limxto0^+l[-2tan(2x)r] = -2cdot0 =0

Passo 4

Voltando à expressão original em forma de exponencial, temos
L = expl(0r) = 1

Resposta

1

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