Exercício 5. Encontre uma equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (x0, f(x0)) :
y=sen(sen(x)), x0=pi

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva y=f(x) em l(x0,f(x0)r), com
f(x)=sinl(sin(x)r)
e x0=pi. Para isso, precisamos do ponto de tangência l(x0,f(x0)r) e da derivada f'(x) avaliada em x0, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Calcular o valor de f no ponto x0=pi:
f(pi)=sinl(sin(pi)r)=sin(0)=0
Logo, o ponto de tangência é l(pi,0r).

Passo 3

Encontrar a derivada f'(x) aplicando a regra da cadeia a sinl(sin(x)r). Sejam u(x)=sin(x) e v(u)=sin(u). Então
f'(x)=v'(u(x))cdot u'(x) =cosl(sin(x)r)cdotcos(x)

Passo 4

Avaliar f'(x) em x=pi:
f'(pi)=cosl(sin(pi)r)cdotcos(pi) =cos(0)cdot(-1) =1cdot(-1) =-1

Passo 5

Usar a forma-ponto da reta tangente:
y - f(pi)=f'(pi),(x-pi)
Substituindo f(pi)=0 e f'(pi)=-1, temos
y-0=-1,(x-pi) Longrightarrow y=-x+pi

Resposta

A equação da reta tangente é
y=-x+pi

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