Considere a função f: R R definida por f(x)=x^2-5 x+6x+5.
Encontre suas assíntotas, caso existam.

Passo 1

O problema pede para encontrar as assíntotas da função racional f(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{x+5}. O assunto é estudo de assíntotas de funções racionais: vamos precisar analisar domínio, zeros do denominador e comportamento de f(x) quando x→±∞.

Passo 2

Começamos pelo domínio. A função só não está definida onde o denominador é zero, isto é, x+5=0 ⇒ x=-5. Como o numerador em x=-5 vale (-5)^{2}-5(-5)+6=56≠0, temos uma assíntota vertical em x=-5.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento para x→±∞. O grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1), logo não há assíntota horizontal e sim oblíqua (ou inclinada) de primeiro grau.

Passo 4

Para achar a equação da assíntota oblíqua, fazemos a divisão polinomial:
x^2-5x+6x+5=x-10+56x+5
Como \frac{56}{x+5}→0 quando x→±∞, a parte dominante é y=x-10. Portanto, a assíntota oblíqua é y=x-10.

Resposta

Assíntota vertical: x = -5; Assíntota oblíqua: y = x - 10.

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