Considere a função
definida por
.
Utilizando o teste da primeira derivada, informe os pontos críticos, assim como os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Utilizando o teste da primeira derivada, informe os pontos críticos, assim como os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Passo 1
O enunciado pede pra gente usar o teste da primeira derivada na função
O conteúdo principal aqui é derivação de função racional usando a regra do quociente e depois analisar o sinal de
para identificar pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento.
Passo 2
Para derivar a função, usamos a regra do quociente: se
, então
Passo 3
No nosso caso,
e
. Calculando as derivadas:
Passo 4
Substituindo na fórmula do quociente temos:
Passo 5
Agora simplificamos o numerador:
Logo
Passo 6
Para achar os pontos críticos, igualamos
e lembramos que
é indefinida em
(fora do domínio de
).
A equação leva aos valores
A equação
que são os únicos pontos onde
Passo 7
Como o denominador
é sempre positivo (exceto em
), o sinal de
vem apenas do numerador
, que é uma parábola com concavidade para cima e raízes em
e
.
Assim, pelo teste da primeira derivada:
Assim, pelo teste da primeira derivada:
-
para e para , logo cresce nesses intervalos. -
para e , logo decresce nesses intervalos.
Resposta
Pontos críticos: x= -5±2√14. Cresce em (-∞, -5-2√14) e (-5+2√14, ∞). Decresce em (-5-2√14, -5) e (-5, -5+2√14).