Considere a função f: R R definida por f(x)=x^2-5 x+6x+5.
Utilizando o teste da primeira derivada, informe os pontos críticos, assim como os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

Passo 1

O enunciado pede pra gente usar o teste da primeira derivada na função f(x)=x^2-5x+6x+5, O conteúdo principal aqui é derivação de função racional usando a regra do quociente e depois analisar o sinal de f'(x) para identificar pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 2

Para derivar a função, usamos a regra do quociente: se f(x)=g(x)h(x), então
f'(x)=g'(x),h(x)-g(x),h'(x)[h(x)]^2,

Passo 3

No nosso caso, g(x)=x^2-5x+6 e h(x)=x+5. Calculando as derivadas:
g'(x)=2x-5e h'(x)=1,

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente temos:
f'(x)=(2x-5)(x+5)-(x^2-5x+6)cdot1(x+5)^2,

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
(2x-5)(x+5)-(x^2-5x+6)=2x^2+10x-5x-25-(x^2-5x+6)=x^2+10x-31,
Logo
f'(x)=x^2+10x-31(x+5)^2,

Passo 6

Para achar os pontos críticos, igualamos f'(x)=0 e lembramos que f' é indefinida em x=-5 (fora do domínio de f).
A equação x^2+10x-31=0 leva aos valores
x=-5pm2raiz14,,
que são os únicos pontos onde f'(x)=0.

Passo 7

Como o denominador (x+5)^2 é sempre positivo (exceto em x=-5), o sinal de f'(x) vem apenas do numerador x^2+10x-31, que é uma parábola com concavidade para cima e raízes em -5-2raiz14 e -5+2raiz14.
Assim, pelo teste da primeira derivada:
  • f'(x)>0 para x<-5-2raiz14 e para x>-5+2raiz14, logo f cresce nesses intervalos.
  • f'(x)<0 para -5-2raiz14 e -5, logo f decresce nesses intervalos.

Resposta

Pontos críticos: x= -5±2√14. Cresce em (-∞, -5-2√14) e (-5+2√14, ∞). Decresce em (-5-2√14, -5) e (-5, -5+2√14).

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