Encontre um fator integrante e resolva a equação.
\left[4\left(x^{3} / y^{2}\right)+(3 / y)\right] d x+\left[3\left(x / y^{2}\right)+4 y\right] d y=0

Passo 1

A equação dada é 4l(tfracx^3y^2r)+tfrac3y,dx+l[3l(tfracxy^2r)+4yr]dy=0, ou seja, temos M(x,y)=4x^3/y^2+3/y e N(x,y)=3x/y^2+4y. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante.

Passo 2

Para testar se a equação é exata, calculamos
$$\frac{\partial M}{\partial y}=-8\frac{x3}{y3}-3\frac{1}{y^2},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=3\frac{1}{y^2}.
$$Como partial Mpartial y=-8x^3y^3-31y^2, partial Npartial x=31y^2 , não é exata e precisamos de um fator integrante.

Passo 3

Procuramos um fator integrante do tipo mu(x,y)=x^a,y^b. A condição de exatidão leva a
-8+4b=0Rightarrow b=2, 4a=0Rightarrow a=0 Logo mu(y)=y^2.

Passo 4

Multiplicando a equação original por y^2, obtemos
$$M_1=4x^3+3y,\qquad N_1=3x+4y^3,
$$e agora
$$\frac{\partial M_1}{\partial y}=3,\quad\frac{\partial N_1}{\partial x}=3,
$$ou seja, a nova equação é exata.

Passo 5

Para encontrar a função potencial F(x,y) tal que nabla F=(M1,N1), integramos:
$$F(x,y)=\int(4x3+3y),dx=x4+3xy+h(y).
$$Derivando em F(x,y)=integral(4x^3+3y),dx=x^4+3xy+h(y) e igualando a y
$$\frac{\partial F}{\partial y}=3x+h’(y)=3x+4y^3\quad\Rightarrow\quad h’(y)=4y^3\Rightarrow h(y)=y^4.
$$Assim,
$$F(x,y)=x4+3xy+y4=C.
$$

Resposta

x^4 + 3,x,y + y^4 = C

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