Encontre um fator integrante e resolva a equação.
\left[4\left(x^{3} / y^{2}\right)+(3 / y)\right] d x+\left[3\left(x / y^{2}\right)+4 y\right] d y=0
\left[4\left(x^{3} / y^{2}\right)+(3 / y)\right] d x+\left[3\left(x / y^{2}\right)+4 y\right] d y=0
Passo 1
A equação dada é
, ou seja, temos
e
. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante.
Passo 2
Para testar se a equação é exata, calculamos
$$\frac{\partial M}{\partial y}=-8\frac{x3}{y3}-3\frac{1}{y^2},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=3\frac{1}{y^2}.
$$Como
, não é exata e precisamos de um fator integrante.
Passo 3
Procuramos um fator integrante do tipo
. A condição de exatidão leva a
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
$$M_1=4x^3+3y,\qquad N_1=3x+4y^3,
$$e agora
$$\frac{\partial M_1}{\partial y}=3,\quad\frac{\partial N_1}{\partial x}=3,
$$ou seja, a nova equação é exata.
Passo 5
Para encontrar a função potencial
tal que
, integramos:
$$F(x,y)=\int(4x3+3y),dx=x4+3xy+h(y).
$$Derivando em
e igualando a
dá
$$\frac{\partial F}{\partial y}=3x+h’(y)=3x+4y^3\quad\Rightarrow\quad h’(y)=4y^3\Rightarrow h(y)=y^4.
$$Assim,
$$F(x,y)=x4+3xy+y4=C.
$$
Resposta
x^4 + 3,x,y + y^4 = C