Determine se o limite de cada uma das sequências abaixo existe ou não. No caso de existência, determine o limite da sequência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites de sequências. A gente precisa descobrir se o limite da sequência $ a_{n} = \frac{2n + 1}{1 - 3 \sqrt{n}} $ existe quando $ n $ vai para o infinito. Para isso, vamos analisar como o numerador e o denominador se comportam conforme $ n $ aumenta muito.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: $ 2n + 1 $. Quando $ n $ fica muito grande, o termo que mais cresce aqui é o $ 2n $, porque $ 1 $ fica irrelevante comparado a $ 2n $. Então, podemos dizer que o numerador se comporta aproximadamente como $ 2n $ quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos para o denominador: $ 1 - 3 \sqrt{n} $. Aqui, o termo que mais cresce é $ -3 \sqrt{n} $, já que $ 1 $ é constante e $ \sqrt{n} $ aumenta conforme $ n $ aumenta. Assim, o denominador se comporta aproximadamente como $ -3 \sqrt{n} $ para valores grandes de $ n $.
Passo 4
Agora, podemos simplificar a expressão original usando essas aproximações:
Simplificando, temos:
Isso porque $ n $ dividido por $ \sqrt{n} $ dá $ \sqrt{n} $.
Passo 5
Agora, vamos ver o que acontece com $ \sqrt{n} $ quando $ n $ vai para o infinito. Claramente, $ \sqrt{n} $ também vai para o infinito. Então, a expressão $ \frac{2 \sqrt{n}}{-3} $ vai para $ -\infty $ porque está dividida por um número negativo.
Resposta
O limite da sequência $ a_{n} = \frac{2n + 1}{1 - 3 \sqrt{n}} $ quando $ n $ tende ao infinito é $ -\infty $.