Determine se o limite de cada uma das sequências abaixo existe ou não. No caso de existência, determine o limite da sequência.
an=2 n+11-3 raizn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites de sequências. A gente precisa descobrir se o limite da sequência $ a_{n} = \frac{2n + 1}{1 - 3 \sqrt{n}} $ existe quando $ n $ vai para o infinito. Para isso, vamos analisar como o numerador e o denominador se comportam conforme $ n $ aumenta muito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: $ 2n + 1 $. Quando $ n $ fica muito grande, o termo que mais cresce aqui é o $ 2n $, porque $ 1 $ fica irrelevante comparado a $ 2n $. Então, podemos dizer que o numerador se comporta aproximadamente como $ 2n $ quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos para o denominador: $ 1 - 3 \sqrt{n} $. Aqui, o termo que mais cresce é $ -3 \sqrt{n} $, já que $ 1 $ é constante e $ \sqrt{n} $ aumenta conforme $ n $ aumenta. Assim, o denominador se comporta aproximadamente como $ -3 \sqrt{n} $ para valores grandes de $ n $.

Passo 4

Agora, podemos simplificar a expressão original usando essas aproximações:
an approx 2n-3 raizn
Simplificando, temos:
an approx 2 raizn-3
Isso porque $ n $ dividido por $ \sqrt{n} $ dá $ \sqrt{n} $.

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece com $ \sqrt{n} $ quando $ n $ vai para o infinito. Claramente, $ \sqrt{n} $ também vai para o infinito. Então, a expressão $ \frac{2 \sqrt{n}}{-3} $ vai para $ -\infty $ porque está dividida por um número negativo.

Resposta

O limite da sequência $ a_{n} = \frac{2n + 1}{1 - 3 \sqrt{n}} $ quando $ n $ tende ao infinito é $ -\infty $.

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