Considere a função f: R^2 R, definida por f(x, y)=ccx^2-x yx-y & , se x neq y -y, & se x=y
Calcule, caso existam, partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função f: ℝ²→ℝ por f(x,y)=(x²−x·y)/(x−y) se x≠y e f(x,y)=−y se x=y. O objetivo é calcular as derivadas parciais em (0,0), usando a definição de derivada parcial como limite de quociente de diferença, mantendo a outra variável fixa.

Passo 2

Pela definição, partial fpartial x(0,0)=limhto0f(0+h,0)-f(0,0)h. Para hneq0, temos x=h e y=0, então x≠y e
f(h,0)=h^2-hcdot0h-0=h^2h=h

Passo 3

Além disso f(0,0)=−0=0. Logo o quociente é
f(h,0)-f(0,0)h=h-0h=1,

Passo 4

e o limite vale 1, isto é partial fpartial x(0,0)=1.

Passo 5

De modo análogo, partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k. Para kneq0, x=0 e y=k, logo
f(0,k)=0^2-0cdot k0-k=0

Passo 6

Como f(0,0)=0, o quociente é
f(0,k)-f(0,0)k=0-0k=0,
então partial fpartial y(0,0)=0.

Resposta

partial fpartial x(0,0)=1 e partial fpartial y(0,0)=0

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