Determine o coeficiente de x^28 no desenvolvimento de
(x+2)^20 cdot(x^2-1)^5

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos achar o coeficiente de x^28 no produto (x+2)^20,(x^2-1)^5. O conteúdo principal aqui é o Teorema Binomial e a técnica de extrair coeficientes em produtos de séries.

Passo 2

Expandimos cada binômio independentemente usando o Teorema Binomial. Para (x+2)^20 vale:
(x + 2)^20 = sumk=0^20 binom20k x^k 2^20-k
E para (x^2 - 1)^5 temos:
(x^2 - 1)^5 = sumj=0^5 binom5j (x^2)^j (-1)^5-j

Passo 3

Ao multiplicar as duas somas, o termo geral fica:
sumk=0^20sumj=0^5 binom20k2^20-kbinom5j(-1)^5-j x^k+2j
Para achar o coeficiente de x^28, precisamos de k + 2j = 28.

Passo 4

Resolvendo k + 2j = 28 com 0 <= k <= 20 e 0 <= j <= 5, as únicas soluções inteiras são (k,j) = (20,4) e (18,5).

Passo 5

Calculamos as contribuições separadamente:
Para (k,j) = (20,4):
binom20202^0binom54(-1)^1 = 1cdot1cdot5cdot(-1)= -5
Para (k,j) = (18,5):
binom20182^2binom55(-1)^0 = binom202cdot4cdot1cdot1 = 190cdot4 = 760
Somando as duas contribuições, o coeficiente final é 760 - 5 = 755.

Resposta

755

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