Verifique ambas as formas do Teorema de Green para o campo F(x, y)=(x-y) i+x j e a região R limitada pela circunferência unitária. C: r(t)=(cos t) i+(sen t) j, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar as duas formas do Teorema de Green para o campo vetorial F(x, y) = (x - y) i + x j na região R que é limitada pela circunferência unitária C definida por r(t) = cos t , i + sin t , j para 0 <= t <= 2pi. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo tanto na forma das integrais de linha quanto na forma das integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região R que C delimita. Existem duas formas principais do teorema:
  1. Forma de circulação:
    ointC P , dx + Q , dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
  2. Forma de fluxo:
    ointC P , dy - Q , dx = integral duplaR ( partial Ppartial x + partial Qpartial y ) dA
No nosso caso, F = P i + Q j onde P = x - y e Q = x.

Passo 3

Vamos começar aplicando a forma de circulação do Teorema de Green.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(x - y) = -1
Agora, substituímos na integral dupla:
integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaR (1 - (-1)) dA = integral duplaR 2 , dA
Como R é a circunferência unitária, a área é pi r^2 = pi (1)^2 = pi. Portanto:
integral duplaR 2 , dA = 2 pi
Isso significa que a integral de linha na forma de circulação deve ser igual a 2pi.

Passo 4

Agora, vamos verificar a forma de fluxo do Teorema de Green.
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Ppartial x = partialpartial x(x - y) = 1
partial Qpartial y = partialpartial y(x) = 0
Substituímos na integral dupla:
integral duplaR ( partial Ppartial x + partial Qpartial y ) dA = integral duplaR (1 + 0) dA = integral duplaR 1 , dA
Novamente, como a área de R é pi:
integral duplaR 1 , dA = pi
Então, a integral de linha na forma de fluxo deve ser igual a pi.

Resposta

Aplicando ambas as formas do Teorema de Green, encontramos que a integral de linha na forma de circulação é 2pi e na forma de fluxo é pi, confirmando que o Teorema de Green é válido para o campo vetorial dado na região R.

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