Verifique ambas as formas do Teorema de Green para o campo
e a região R limitada pela circunferência unitária.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar as duas formas do Teorema de Green para o campo vetorial
na região
que é limitada pela circunferência unitária
definida por
para
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo tanto na forma das integrais de linha quanto na forma das integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que
delimita. Existem duas formas principais do teorema:
-
Forma de circulação:
-
Forma de fluxo:
No nosso caso,
onde
e
.
Passo 3
Vamos começar aplicando a forma de circulação do Teorema de Green.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituímos na integral dupla:
Como
é a circunferência unitária, a área é
. Portanto:
Isso significa que a integral de linha na forma de circulação deve ser igual a
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a forma de fluxo do Teorema de Green.
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Substituímos na integral dupla:
Novamente, como a área de
é
:
Então, a integral de linha na forma de fluxo deve ser igual a
.
Resposta
Aplicando ambas as formas do Teorema de Green, encontramos que a integral de linha na forma de circulação é
e na forma de fluxo é
, confirmando que o Teorema de Green é válido para o campo vetorial dado na região
.