Nos Exercícios de 25 a 36, calcule a derivada indicada, aplicando os teoremas desta secção.
dd x(x^2+2 x+1x^2-2 x+1)

Passo 1

Vamos calcular a derivada de x^2+2x+1x^2-2x+1. O conteúdo principal é a regra do quociente, que diz: se f(x) e g(x) são diferenciáveis, então ddxl(tfracfgr)=f',g - f,g'g^2. Precisamos identificar f(x)=x^2+2x+1 e g(x)=x^2-2x+1.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de f e g:
f(x)=x^2+2x+1Longrightarrow f'(x)=2x+2,
g(x)=x^2-2x+1Longrightarrow g'(x)=2x-2

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente:
ddxgl(fggr)=(2x+2)(x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)(2x-2)(x^2-2x+1)^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador. Primeiro expandimos cada produto:
(2x+2)(x^2-2x+1)=2x^3-2x^2-2x+2,
(x^2+2x+1)(2x-2)=2x^3+2x^2-2x-2
Subtraindo um do outro:
2x^3-2x^2-2x+2 - (2x^3+2x^2-2x-2)=-4x^2+4=-4(x^2-1)

Passo 5

Assim a derivada fica:
-4(x^2-1)(x^2-2x+1)^2
Podemos notar que x^2-2x+1=(x-1)^2 e x^2-1=(x-1)(x+1), de modo que:
-4(x^2-1)(x^2-2x+1)^2= rac-4(x-1)(x+1)(x-1)^4= rac-4(x+1)(x-1)^3

Resposta

-4,x+1(x-1)^3

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