Considere a função f: R^2 R definida por f(x, y)=x yx+y, se x+y neq 0, e f(x,-x)=x para x in R.
Calcule, caso existam, partial fpartial x|(0,0) e partial fpartial y|(0,0).

Passo 1

A função é dada por f(x,y)=x,yx+y quando x+yneq0 e por f(x,-x)=x. Queremos as derivadas parciais em (0,0). Note que, pela segunda definição, f(0,0)=0. Vamos usar a definição de derivada parcial via limite.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x(0,0), usamos
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(0+h,0)-f(0,0)h
Como (h,0) satisfaz h+0neq0, temos
f(h,0)=hcdot0h+0=0
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f(h,0)-f(0,0)h=0-0h=0
e o limite é 0.

Passo 3

De forma análoga, para partial fpartial y(0,0) consideramos
partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,0+h)-f(0,0)h
Em (0,h) temos
f(0,h)=0cdot h0+h=0,
portanto
f(0,h)-f(0,0)h=0-0h=0
e o limite também é 0.

Resposta

partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0.

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