Considere a função
dada por
.
Determine a função gradiente de
.
Determine a função gradiente de
Passo 1
Então, a gente tem a função $ f(x, y) = y - x^{2} $ que mapeia pontos no plano
para números reais. A tarefa é encontrar o gradiente dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. No caso de $ f(x, y) $, o gradiente será um vetor com duas componentes: a derivada parcial de
em relação a
e a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que mantemos
constante e derivamos em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é zero porque
é tratado como uma constante, e a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Mantemos
constante e derivamos em relação a
:
Nesse caso, a derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
em relação a
é zero porque
é tratado como uma constante.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, a gente monta o vetor gradiente juntando essas duas componentes:
Resposta
O gradiente da função $ f(x, y) = y - x^{2} $ é $ \nabla f(x, y) = (-2x, 1) $.