Considere a função f: R^2 longrightarrow R dada por f(x, y)=y-x^2.
Determine a função gradiente de f.

Passo 1

Então, a gente tem a função $ f(x, y) = y - x^{2} $ que mapeia pontos no plano f(x, y) = y - x^2 para números reais. A tarefa é encontrar o gradiente dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais em relação a R^2 e x.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. No caso de $ f(x, y) $, o gradiente será um vetor com duas componentes: a derivada parcial de f(x, y) em relação a f e a derivada parcial de x em relação a f.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x. Isso significa que mantemos y constante e derivamos em relação a x:
partial fpartial x = partialpartial x(y - x^2) = 0 - 2x = -2x
Aqui, a derivada de y em relação a x é zero porque y é tratado como uma constante, e a derivada de -x^2 é -2x.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y. Mantemos x constante e derivamos em relação a y:
partial fpartial y = partialpartial y(y - x^2) = 1 - 0 = 1
Nesse caso, a derivada de y em relação a y é 1, e a derivada de -x^2 em relação a y é zero porque x é tratado como uma constante.

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, a gente monta o vetor gradiente juntando essas duas componentes:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (-2x, 1)

Resposta

O gradiente da função $ f(x, y) = y - x^{2} $ é $ \nabla f(x, y) = (-2x, 1) $.

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