Trace o gráfico da equação em coordenadas retangulares.
(Folha de Descartes)
Passo 1
Estamos lidando com a curva conhecida como “folium de Descartes”, dada pela equação
. Para traçar o gráfico, vamos precisar: interceptos, representação paramétrica, assíntota oblíqua e análise dos ramos e do laço.
Passo 2
Calculamos os interceptos com os eixos. Se
, a equação vira
e então
. Se
, obtemos
e
. Concluímos que o único ponto de interseção com os eixos é a origem
, que aliás é o ponto duplo da curva.
Passo 3
Para obter a representação paramétrica, introduzimos
(
). Substituindo em
temos
Logo, para
Passo 4
Essa parametrização gera toda a curva quando
Passo 5
Buscamos agora a assíntota oblíqua. Para isso, supomos
para
. Substituindo em
e anulando os termos de maior ordem em
encontramos
Passo 6
Portanto a assíntota é
.
Passo 7
Analisando a parametrização em diferentes intervalos de
:
- Para
, tem-se , . À medida que cresce de 0 a , o ponto vai da origem de volta à origem, formando um laço. Em particular, para obtemos , vértice do laço. - Para
, obtém-se (ramo no segundo quadrante) que escapa para o infinito aproximando-se da assíntota. - Para
, resulta (ramo no quarto quadrante) também se aproximando de .
O esboço final é: um laço fechado em primeiro quadrante tocando a origem duas vezes, de vértice em
, e dois ramos que escapam para o infinito, aproximando-se da assíntota oblíqua
.
Resposta
É a folium de Descartes: curva com um laço em primeiro quadrante entre a origem e o ponto
, e dois ramos que se estendem ao infinito aproximando-se da assíntota oblíqua
.