Trace o gráfico da equação em coordenadas retangulares.
x^3+y^3-3 a y=0 (Folha de Descartes)

Passo 1

Estamos lidando com a curva conhecida como “folium de Descartes”, dada pela equação x^3 + y^3 - 3a x y = 0. Para traçar o gráfico, vamos precisar: interceptos, representação paramétrica, assíntota oblíqua e análise dos ramos e do laço.

Passo 2

Calculamos os interceptos com os eixos. Se y=0, a equação vira x^3=0 e então x=0. Se x=0, obtemos y^3=0 e y=0. Concluímos que o único ponto de interseção com os eixos é a origem (0,0), que aliás é o ponto duplo da curva.

Passo 3

Para obter a representação paramétrica, introduzimos t= yx ( xneq0). Substituindo em x^3 + y^3 -3a x y=0 temos
x^3l(1+t^3r)-3a t x^2=0
Logo, para 1+t^3neq0,
x=3a t1+t^3, y=3a t^21+t^3

Passo 4

Essa parametrização gera toda a curva quando tin Rsetminus-1

Passo 5

Buscamos agora a assíntota oblíqua. Para isso, supomos y=-x+b+o(1) para |x|toinfty. Substituindo em x^3 + y^3 -3a x y=0 e anulando os termos de maior ordem em x encontramos
b=-a

Passo 6

Portanto a assíntota é y=-x -a.

Passo 7

Analisando a parametrização em diferentes intervalos de t:
  • Para t>0, tem-se x>0, y>0. À medida que t cresce de 0 a +infty, o ponto vai da origem de volta à origem, formando um laço. Em particular, para t=1 obtemos x=y=tfrac3a2, vértice do laço.
  • Para -1, obtém-se x<0,,y>0 (ramo no segundo quadrante) que escapa para o infinito aproximando-se da assíntota.
  • Para t<-1, resulta x>0,,y<0 (ramo no quarto quadrante) também se aproximando de y=-x-a.
O esboço final é: um laço fechado em primeiro quadrante tocando a origem duas vezes, de vértice em l(tfrac3a2,tfrac3a2r), e dois ramos que escapam para o infinito, aproximando-se da assíntota oblíqua y=-x -a.

Resposta

É a folium de Descartes: curva com um laço em primeiro quadrante entre a origem e o ponto (3a/2,3a/2), e dois ramos que se estendem ao infinito aproximando-se da assíntota oblíqua y=-x -a.

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