Considere a função
dada por
.
Determine a derivada direcional de
na direção de
e no ponto
.
Determine a derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = y - x^2 $ no ponto
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e como usar o gradiente da função. Basicamente, a derivada direcional nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Para $ f(x, y) = y - x^2 $:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
No ponto
:
Passo 3
Agora, precisamos da direção do vetor
como um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, calculamos o comprimento (ou norma) do vetor:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 4
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada. Ou seja:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto
na direção de
é $ \displaystyle \frac{-11}{\sqrt{10}} $.