Considere a função f: R^2 longrightarrow R dada por f(x, y)=y-x^2.
Determine a derivada direcional de f na direção de (3,1) e no ponto (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = y - x^2 $ no ponto f(x, y) = y - x^2 na direção do vetor (2, 3). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e como usar o gradiente da função. Basicamente, a derivada direcional nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Para $ f(x, y) = y - x^2 $:
f
Calculando as derivadas parciais:
f(x, y) = y - x^2
Então, o gradiente fica:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
No ponto partial fpartial x = -2x partial fpartial y = 1 :
nabla f(x, y) = (-2x, 1)

Passo 3

Agora, precisamos da direção do vetor (3, 1) como um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, calculamos o comprimento (ou norma) do vetor:
| v | = raiz3^2 + 1^2 = raiz9 + 1 = raiz10
Então, o vetor unitário na direção de (3, 1) é:
u = ( 3raiz10, 1raiz10 )

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada. Ou seja:
Du f(2, 3) = nabla f(2, 3) cdot u
Substituindo os valores:
Du f(2, 3) = (-4, 1) cdot ( 3raiz10, 1raiz10 ) = (-4 times 3raiz10) + (1 times 1raiz10)
= -12raiz10 + 1raiz10 = -11raiz10

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto f na direção de (2, 3) é $ \displaystyle \frac{-11}{\sqrt{10}} $.

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