Para
, determinar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de $ f(x, y) = \int_{xy}^{2y} e{t{2}} , dt $ em $ (1,1) $. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas parciais utilizando a Regra de Leibniz para diferenciação de integrais que têm limites que dependem das variáveis. Vamos precisar entender como aplicar essa regra para encontrar $ f_x(1,1) $ e $ f_y(1,1) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas medem como a função $ f(x, y) $ muda quando mudamos apenas $ x $ ou apenas $ y $, mantendo a outra variável fixa. Aqui, queremos saber como $ f $ muda em relação a $ x $ e a $ y $ no ponto $ (1,1) $.
Passo 3
Para derivar $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $, usaremos a Regra de Leibniz, que nos permite diferenciar integrais com limites que dependem das variáveis. A regra diz que:
E de forma similar para a derivada em relação a $ y $.
Passo 4
Vamos começar encontrando $ f_x(x, y) $. Aplicando a Regra de Leibniz:
Agora, calcula as derivadas dos limites em relação a $ x $:
Passo 5
Substituindo essas derivadas:
Agora, avaliamos em $ (1,1) $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar $ f_y(x, y) $. Usando a Regra de Leibniz novamente:
Calculando as derivadas dos limites em relação a $ y $:
Passo 7
Substituindo essas derivadas:
Agora, avaliamos em $ (1,1) $: