Para f(x, y)=integralx y^2 y e^t^2 d t, determinar fx(1,1) e fy(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de $ f(x, y) = \int_{xy}^{2y} e{t{2}} , dt $ em $ (1,1) $. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas parciais utilizando a Regra de Leibniz para diferenciação de integrais que têm limites que dependem das variáveis. Vamos precisar entender como aplicar essa regra para encontrar $ f_x(1,1) $ e $ f_y(1,1) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas medem como a função $ f(x, y) $ muda quando mudamos apenas $ x $ ou apenas $ y $, mantendo a outra variável fixa. Aqui, queremos saber como $ f $ muda em relação a $ x $ e a $ y $ no ponto $ (1,1) $.

Passo 3

Para derivar $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $, usaremos a Regra de Leibniz, que nos permite diferenciar integrais com limites que dependem das variáveis. A regra diz que:
f(x, y)
E de forma similar para a derivada em relação a $ y $.

Passo 4

Vamos começar encontrando $ f_x(x, y) $. Aplicando a Regra de Leibniz:
fx(x, y)
Agora, calcula as derivadas dos limites em relação a $ x $:
fx(x, y) = e^(2y)^2 cdot partial (2y)partial x - e^(xy)^2 cdot partial (xy)partial x ã
x

Passo 5

Substituindo essas derivadas:
fx(x, y) = e^(2y)^2 cdot 0 - e^(xy)^2 cdot y = -y cdot e^(xy)^2
Agora, avaliamos em $ (1,1) $:
(1,1)

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ f_y(x, y) $. Usando a Regra de Leibniz novamente:
fy(x, y)
Calculando as derivadas dos limites em relação a $ y $:
fy(x, y) = e^(2y)^2 cdot partial (2y)partial y - e^(xy)^2 cdot partial (xy)partial y
y

Passo 7

Substituindo essas derivadas:
fy(x, y) = e^(2y)^2 cdot 2 - e^(xy)^2 cdot x = 2 e^4y^2 - x e^(xy)^2
Agora, avaliamos em $ (1,1) $:
(1,1)

Resposta

fx(1,1) = -e e fy(1,1) = 2 e^4 - e

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