Considere a função f: R^2 longrightarrow R dada por f(x, y)=y-x^2.
Desenhar as curvas de nível de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos as curvas de nível da função $ f(x, y) = y - x^2 $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Curvas de nível são as curvas no plano $ xy $ onde a função $ f(x, y) $ mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor constante $ k $, temos $ f(x, y) = k $. Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta no plano.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ f(x, y) = y - x^2 $. Queremos encontrar as curvas onde $ f(x, y) = k $, onde $ k $ é uma constante. Então, vamos igualar a função a $ k $:
f(x, y) = y - x^2

Passo 4

Vamos resolver essa equação para $ y $:
y
Isso significa que, para cada valor de $ k $, a curva de nível é uma parábola que se abre para cima, deslocada verticalmente por $ k $.

Passo 5

Vamos pensar nos diferentes valores de $ k $:
  • Se $ k = 0 $, a curva é $ y = x^2 $, que é a parábola padrão.
  • Se $ k > 0 $, por exemplo $ k = 1 $, a curva será $ y = x^2 + 1 $, ou seja, a parábola está 1 unidade acima.
  • Se $ k < 0 $, por exemplo $ k = -1 $, a curva será $ y = x^2 - 1 $, então a parábola está 1 unidade abaixo.

Passo 6

Então, cada curva de nível é uma parábola verticalmente deslocada dependendo do valor de $ k $. Ao varirmos $ k $, obtemos uma série de parábolas que se empilham umas sobre as outras, cada uma representando um “nível” diferente da função $ f(x, y) $.

Resposta

As curvas de nível da função $ f(x, y) = y - x^2 $ são parábolas da forma $ y = x^2 + k $, onde $ k $ é uma constante que desloca a parábola verticalmente para cima ou para baixo no plano $ xy $.

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