Considere a função
dada por
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Desenhar as curvas de nível de
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Desenhar as curvas de nível de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos as curvas de nível da função $ f(x, y) = y - x^2 $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Curvas de nível são as curvas no plano $ xy $ onde a função $ f(x, y) $ mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor constante $ k $, temos $ f(x, y) = k $. Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta no plano.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ f(x, y) = y - x^2 $. Queremos encontrar as curvas onde $ f(x, y) = k $, onde $ k $ é uma constante. Então, vamos igualar a função a $ k $:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para $ y $:
Isso significa que, para cada valor de $ k $, a curva de nível é uma parábola que se abre para cima, deslocada verticalmente por $ k $.
Passo 5
Vamos pensar nos diferentes valores de $ k $:
- Se $ k = 0 $, a curva é $ y = x^2 $, que é a parábola padrão.
- Se $ k > 0 $, por exemplo $ k = 1 $, a curva será $ y = x^2 + 1 $, ou seja, a parábola está 1 unidade acima.
- Se $ k < 0 $, por exemplo $ k = -1 $, a curva será $ y = x^2 - 1 $, então a parábola está 1 unidade abaixo.
Passo 6
Então, cada curva de nível é uma parábola verticalmente deslocada dependendo do valor de $ k $. Ao varirmos $ k $, obtemos uma série de parábolas que se empilham umas sobre as outras, cada uma representando um “nível” diferente da função $ f(x, y) $.
Resposta
As curvas de nível da função $ f(x, y) = y - x^2 $ são parábolas da forma $ y = x^2 + k $, onde $ k $ é uma constante que desloca a parábola verticalmente para cima ou para baixo no plano $ xy $.