Achar os pontos críticos de
e classificá-los em máximo local, mínimo local ou sela.
Passo 1
A questão é de cálculo multivariável: queremos achar os pontos críticos de f(x,y)=
e usar o teste da matriz Hessiana para ver se são máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de f:
A derivada em relação a x é
A derivada em relação a x é
E a derivada em relação a y é
Passo 3
Para encontrar os críticos, igualamos as derivadas a zero e resolvemos o sistema:
De vem
De
De
Logo, igualando as duas expressões de y:
Assim x=0 ou x=2, e consequentemente y=0 ou y=2. Os pontos críticos são (0,0) e (2,2).
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana H para aplicar o teste de segunda derivada:
O discriminante é D=det(H)=f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2.
Passo 5
Avaliamo H em cada ponto crítico e classificamos:
Em (0,0): f_{xx}=0, f_{xy}=-2, f_{yy}=2, logo D=0·2 - (-2)^2 = -4<0. Pelo teste, D<0 indica ponto de sela.
Em (2,2): f_{xx}=4, f_{xy}=-2, f_{yy}=2, logo D=4·2 - (-2)^2 =8-4=4>0 e f_{xx}=4>0. Assim D>0 e f_{xx}>0 indicam mínimo local.
Em (0,0): f_{xx}=0, f_{xy}=-2, f_{yy}=2, logo D=0·2 - (-2)^2 = -4<0. Pelo teste, D<0 indica ponto de sela.
Em (2,2): f_{xx}=4, f_{xy}=-2, f_{yy}=2, logo D=4·2 - (-2)^2 =8-4=4>0 e f_{xx}=4>0. Assim D>0 e f_{xx}>0 indicam mínimo local.
Passo 6
Portanto, (0,0) é ponto de sela e (2,2) é mínimo local.
Resposta
Pontos críticos: (0,0) é ponto de sela; (2,2) é mínimo local.