Achar os pontos críticos de f(x, y)=x^33-2 x y+y^2 e classificá-los em máximo local, mínimo local ou sela.

Passo 1

A questão é de cálculo multivariável: queremos achar os pontos críticos de f(x,y)= x^33-2xy+y^2 e usar o teste da matriz Hessiana para ver se são máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f:
A derivada em relação a x é
partial fpartial x=x^2-2y
E a derivada em relação a y é
partial fpartial y=-2x+2y

Passo 3

Para encontrar os críticos, igualamos as derivadas a zero e resolvemos o sistema:
De partial fpartial x=0 vem
y=x^22
De partial fpartial y=0 vem
y=x
Logo, igualando as duas expressões de y:
x=x^22Rightarrow x^2=2xRightarrow x(x-2)=0
Assim x=0 ou x=2, e consequentemente y=0 ou y=2. Os pontos críticos são (0,0) e (2,2).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana H para aplicar o teste de segunda derivada:
H= fxx&fxy fxy&fyy = 2x&-2-2&2
O discriminante é D=det(H)=f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2.

Passo 5

Avaliamo H em cada ponto crítico e classificamos:
Em (0,0): f_{xx}=0, f_{xy}=-2, f_{yy}=2, logo D=0·2 - (-2)^2 = -4<0. Pelo teste, D<0 indica ponto de sela.
Em (2,2): f_{xx}=4, f_{xy}=-2, f_{yy}=2, logo D=4·2 - (-2)^2 =8-4=4>0 e f_{xx}=4>0. Assim D>0 e f_{xx}>0 indicam mínimo local.

Passo 6

Portanto, (0,0) é ponto de sela e (2,2) é mínimo local.

Resposta

Pontos críticos: (0,0) é ponto de sela; (2,2) é mínimo local.

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