Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação polar.
r^2=9 cos 20

Passo 1

O enunciado pede a área da curva em coordenadas polares dada por r^2=9cos 2theta. O conteúdo principal é área em coordenadas polares, e vamos usar a fórmula A=tfrac12integral r^2,dtheta.

Passo 2

Primeiro identificamos para quais theta a curva existe de fato, pois r^2 precisa ser não negativo. Temos 9cos2theta>=0 quando cos2theta>=0, ou seja em -tfracpi4<=theta<=tfracpi4 e em tfrac3pi4<=theta<=tfrac5pi4. Cada intervalo corresponde a um laço da lemniscata.

Passo 3

Agora vamos calcular a área de um laço, por exemplo no intervalo -tfracpi4 a tfracpi4:
Alobo=12integral-pi/4^pi/4r^2,dtheta =12integral-pi/4^pi/49cos2theta,dtheta =92[12sin2theta]-pi/4^pi/4 =94l(sintfracpi2-sin(-tfracpi2)r) =94(1-(-1)) =92

Passo 4

Como a curva é simétrica, há dois lobos iguais, então a área total é o dobro:
Atotal=2times92=9

Resposta

9

Exercícios relacionados