5 - Considere uma função f: R^2 R e responda se as afirmações abaixo são falsas (nesse caso exiba um contra-exemplo) ou verdadeiras (nesse caso, justifique claramente):
(a) (1 ponto) Se, para todo vetor unitário v, a derivada direcional partial fpartial v(0,0) existe, então f é diferenciável em (0,0).
(b) (1 ponto) Se as derivadas parciais partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0) existem, então f é contínua em (0,0).
(c) (1 ponto) Se as derivadas parciais partial fpartial x(0, ) e partial fpartial y(0,0) existem, então a derivada direcional partial fpartial v(0,0) existe, para todo o vetor unitário v.
(d) (1 ponto) Se f é diferenciável em (0,0) e o gradiente nabla f(0,0)=(1,1), então a derivada direcional partial fpartial v(0,0)=alpha+2 beta, para todo vetor unitário v=(alpha, beta).

Passo 1

O enunciado trata de uma função f:R^2toR e apresenta quatro afirmações sobre existência de derivadas direcionais, parciais, diferenciabilidade e continuidade em (0,0). Vamos analisar cada item separadamente, lembrando que:
  • A existência de todas as derivadas direcionais numa vizinhança não garante diferenciabilidade.
  • A existência das derivadas parciais em um ponto não garante nem continuidade nem existência de todas as derivadas direcionais.
  • Se f é diferenciável em (0,0), vale partialvec vf(0,0)=nabla f(0,0)cdotvec v.

Passo 2

(a) “Se, para todo vetor unitário
Para qualquer vetor unitário . Entretanto, ao seguir o caminho ,
logo não é contínua (e portanto não diferenciável) em .

Passo 3

(b) “Se as derivadas parciais
Calcula-se
Porém, pelo caminho não é contínua em .

Passo 4

(c) “Se as derivadas parciais
que já vimos ter ,
não converge a número finito quando , portanto não existe.

Passo 5

(d) “Se f é diferenciável em (0,0) e nabla f(0,0)=(1,1), então partialvec vf(0,0)=alpha+2beta para todo vetor unitário vec v=(alpha,beta).”
Isto é falso. Pela fórmula da derivada direcional de função diferenciável,
partialvec vf(0,0)=nabla f(0,0)cdotvec v =(1,1)cdot(alpha,beta)=alpha+beta,
e não alpha+2beta. Um contra-exemplo numérico é
f(x,y)=x+y,
que tem nabla f=(1,1) mas, por exemplo, em vec v=(0,1)
partialvec vf(0,0)=1neq0+2cdot1=2.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.
(d) Falsa.

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