5 - Considere uma função
e responda se as afirmações abaixo são falsas (nesse caso exiba um contra-exemplo) ou verdadeiras (nesse caso, justifique claramente):
(a) (1 ponto) Se, para todo vetor unitário
, a derivada direcional
existe, então
é diferenciável em
.
(b) (1 ponto) Se as derivadas parciais
e
existem, então
é contínua em
.
(c) (1 ponto) Se as derivadas parciais
,
existem, então a derivada direcional
existe, para todo o vetor unitário
.
(d) (1 ponto) Se
é diferenciável em
e o gradiente
, então a derivada direcional
, para todo vetor unitário
.
(a) (1 ponto) Se, para todo vetor unitário
(b) (1 ponto) Se as derivadas parciais
(c) (1 ponto) Se as derivadas parciais
(d) (1 ponto) Se
Passo 1
O enunciado trata de uma função
e apresenta quatro afirmações sobre existência de derivadas direcionais, parciais, diferenciabilidade e continuidade em
. Vamos analisar cada item separadamente, lembrando que:
- A existência de todas as derivadas direcionais numa vizinhança não garante diferenciabilidade.
- A existência das derivadas parciais em um ponto não garante nem continuidade nem existência de todas as derivadas direcionais.
- Se
é diferenciável em , vale .
Passo 2
(a) “Se, para todo vetor unitário
Para qualquer vetor unitário . Entretanto, ao seguir o caminho
,
logo
não é contínua (e portanto não diferenciável) em
.
Passo 3
(b) “Se as derivadas parciais
Calcula-se
Porém, pelo caminho não é contínua em
.
Passo 4
(c) “Se as derivadas parciais
que já vimos ter ,
não converge a número finito quando
, portanto
não existe.
Passo 5
(d) “Se
é diferenciável em
e
, então
para todo vetor unitário
.”
Isto é falso. Pela fórmula da derivada direcional de função diferenciável,
Isto é falso. Pela fórmula da derivada direcional de função diferenciável,
e não
. Um contra-exemplo numérico é
que tem
mas, por exemplo, em
dá
.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.
(d) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.
(d) Falsa.