Determine em que pontos as seguintes funçc̃es são contínuas:
d) f(x)=sen^2(x^2)+ln (x^2+1)x^2 arctg(x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x)=\frac{\sin{2}(x{2})+\ln(x{2}+1)}{x{2}\arctg(x)}
é contínua. O assunto aqui é continuidade de funções construídas por combinação (soma, produto, quociente) de funções elementares (seno, logaritmo, arctangente). Vamos usar que essas funções são contínuas em seus domínios e que um quociente é contínuo onde o denominador é não nulo.

Passo 2

Analisamos cada parte: sin^2(x^2) e ln(x^2+1) são contínuas para todo xinR. Também x^2 e são contínuas em arctg(x). Então o quociente
é contínuo sempre que o denominador for diferente de zero.

Passo 3

Resolvemos . Como x^2arctg(x)=0 só em x^2=0, e também só em x=0, concluímos que o denominador zera somente em arctg(x)=0.

Passo 4

Logo, f(x) está definida e é contínua para todo xneq0.
Para verificar continuidade em x=0, calculamos o limite
Usando as expansões limxto0f(x)=limxto0sin^2(x^2)+ln(1+x^2)x^2arctg(x) e sin(x^2)sim x^2, o numerador é ln(1+x^2)sim x^2 e o denominador sim x^4+x^2. Portanto o quociente sim x^3 diverge quando sim x^-1+x, não há limite finito, logo não é contínua em xto0.

Resposta

A função é contínua para todo ponto xneq0, ou seja, em Rsetminus0.

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