Determine em que pontos as seguintes funçc̃es são contínuas:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar onde a função
f(x)=\frac{\sin{2}(x{2})+\ln(x{2}+1)}{x{2}\arctg(x)}
é contínua. O assunto aqui é continuidade de funções construídas por combinação (soma, produto, quociente) de funções elementares (seno, logaritmo, arctangente). Vamos usar que essas funções são contínuas em seus domínios e que um quociente é contínuo onde o denominador é não nulo.
f(x)=\frac{\sin{2}(x{2})+\ln(x{2}+1)}{x{2}\arctg(x)}
é contínua. O assunto aqui é continuidade de funções construídas por combinação (soma, produto, quociente) de funções elementares (seno, logaritmo, arctangente). Vamos usar que essas funções são contínuas em seus domínios e que um quociente é contínuo onde o denominador é não nulo.
Passo 2
Analisamos cada parte:
e
são contínuas para todo
. Também
e são contínuas em
. Então o quociente
é contínuo sempre que o denominador for diferente de zero.
Passo 3
Resolvemos . Como
só em
, e também só em
, concluímos que o denominador zera somente em
.
Passo 4
Logo,
está definida e é contínua para todo
.
Para verificar continuidade em , calculamos o limite
Para verificar continuidade em
Usando as expansões
e
, o numerador é
e o denominador
. Portanto o quociente
diverge quando
, não há limite finito, logo não é contínua em
.
Resposta
A função é contínua para todo ponto
, ou seja, em
.