Considere a função
, definida para todo
.
Determine os intervalos de concavidade para cima/baixo do gráfico de f. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f, caso existam (ou justifique a inexistência dos mesmos).
Determine os intervalos de concavidade para cima/baixo do gráfico de f. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f, caso existam (ou justifique a inexistência dos mesmos).
Passo 1
Resumimos o enunciado: temos f(t)=
, domínio t∈ℝ{0}. O objetivo é determinar intervalos de concavidade (para cima/para baixo) e verificar pontos de inflexão, usando derivadas.
Passo 2
Calculamos a primeira e a segunda derivadas usando regras de potência e soma. Como f(t)=t+1/t, temos
e então
Passo 3
Analisamos o sinal de f’’(t)=2/t^3. Para t>0, t^3>0 implica f’’(t)>0, ou seja, concavidade para cima em (0,\infty). Para t<0, t^3<0 implica f’’(t)<0, ou seja, concavidade para baixo em (-\infty,0).
Passo 4
Buscamos pontos de inflexão: são pontos em que f’’ muda de sinal e f’’=0 ou indefinida no domínio. Aqui f’’ nunca é zero e só é indefinida em t=0, que não pertence ao domínio de f. Assim não há pontos de inflexão em Dom(f).
Resposta
Concavidade para cima em (0,∞) e para baixo em (-∞,0). Não existem pontos de inflexão no domínio de f.