Considere a função f(t)=t^2+1t, definida para todo t in R com t neq 0.
Determine os intervalos de concavidade para cima/baixo do gráfico de f. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f, caso existam (ou justifique a inexistência dos mesmos).

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos f(t)= (t^2+1)/t, domínio t∈ℝ{0}. O objetivo é determinar intervalos de concavidade (para cima/para baixo) e verificar pontos de inflexão, usando derivadas.

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivadas usando regras de potência e soma. Como f(t)=t+1/t, temos
f'(t)=1-1t^2
e então
f''(t)=ddtl(1- t^-2r)=2,t^-3=2t^3 .

Passo 3

Analisamos o sinal de f’’(t)=2/t^3. Para t>0, t^3>0 implica f’’(t)>0, ou seja, concavidade para cima em (0,\infty). Para t<0, t^3<0 implica f’’(t)<0, ou seja, concavidade para baixo em (-\infty,0).

Passo 4

Buscamos pontos de inflexão: são pontos em que f’’ muda de sinal e f’’=0 ou indefinida no domínio. Aqui f’’ nunca é zero e só é indefinida em t=0, que não pertence ao domínio de f. Assim não há pontos de inflexão em Dom(f).

Resposta

Concavidade para cima em (0,∞) e para baixo em (-∞,0). Não existem pontos de inflexão no domínio de f.

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