Considere a função f(x)=x^3-11-x^2 cujo domínio é D=R backslash-1,1.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=2.

Passo 1

A questão é: temos a função f(x)=x^3-11-x^2 com domínio Rsetminus-1,1 e queremos a reta tangente ao gráfico em x=2. O conteúdo envolve derivada e equação de reta tangente, então vamos precisar calcular f(2), f'(x) usando regra do quociente e, em seguida, avaliar f'(2) para montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor da função em x=2:
Avaliando f(2)=2^3-11-2^2. Temos
f(2)=8-11-4=7-3=-73

Passo 3

Agora, encontramos a derivada f'(x) por meio da regra do quociente. Se u(x)=x^3-1 e v(x)=1-x^2, então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2= 3x^2(1-x^2)-(x^3-1)(-2x)(1-x^2)^2
Expandindo o numerador:
3x^2-3x^4+2x^4-2x=-x^4+3x^2-2x
Logo,
f'(x)=-x^4+3x^2-2x(1-x^2)^2

Passo 4

Em seguida, avaliamos f'(2):
Numerador em x=2:
-(2)^4+3(2)^2-2cdot2=-16+12-4=-8
Denominador:
(1-2^2)^2=(-3)^2=9
Portanto,
f'(2)=-89

Passo 5

Por fim, a equação da reta tangente no ponto (2,f(2)) é dada por
y-f(2)=f'(2)(x-2)
Substituindo f(2)=-tfrac73 e f'(2)=-tfrac89, temos
y+73=-89(x-2)
Isolando y:
y=-89x+169-73=-89x-59

Resposta

y=-\frac{8}{9}x-\frac{5}{9)

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