Considere a função f(x)=3 x^2-12.
Represente, geometricamente, a família de curvas que representam integral f(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar geometricamente a família de curvas cuja derivada é f(x)=3x^2−12, ou seja, as primitivas de f. Estamos em Cálculo Diferencial e Integral e vamos usar definição de integral indefinida e constante de integração.

Passo 2

A integral indefinida de uma função f(x) é qualquer função F(x) tal que F’(x)=f(x). Além disso, como derivadas de funções constantes são zero, acrescentamos uma constante de integração C∈ℝ para obter todas as primitivas.

Passo 3

Para calcular ∫f(x)dx fazemos ∫(3x^2−12)dx. Sabendo que ∫x^n dx = x^{n+1}/(n+1) e ∫a dx = a x, temos:
integral 3x^2 dx = 3·x^33 = x^3, integral (−12) dx = −12x
Logo,
F(x)=x^3−12x+C

Passo 4

Geometricamente, a família de curvas
y = x^3 −12x + C, CinR,
é obtida movendo verticalmente a curva de referência y=x^3−12x. Cada valor de C desloca o gráfico para cima (C>0) ou para baixo (C<0).

Resposta

A família de curvas é dada por
y = x^3 - 12x + C, C in R

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