Considere a função
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Represente, geometricamente, a família de curvas que representam
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Represente, geometricamente, a família de curvas que representam
Passo 1
O enunciado pede para encontrar geometricamente a família de curvas cuja derivada é f(x)=3x^2−12, ou seja, as primitivas de f. Estamos em Cálculo Diferencial e Integral e vamos usar definição de integral indefinida e constante de integração.
Passo 2
A integral indefinida de uma função f(x) é qualquer função F(x) tal que F’(x)=f(x). Além disso, como derivadas de funções constantes são zero, acrescentamos uma constante de integração C∈ℝ para obter todas as primitivas.
Passo 3
Para calcular ∫f(x)dx fazemos ∫(3x^2−12)dx. Sabendo que ∫x^n dx = x^{n+1}/(n+1) e ∫a dx = a x, temos:
Logo,
Passo 4
Geometricamente, a família de curvas
é obtida movendo verticalmente a curva de referência y=x^3−12x. Cada valor de C desloca o gráfico para cima (C>0) ou para baixo (C<0).
Resposta
A família de curvas é dada por