Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por v(t)=32 t+96; de uma altura de 64 pés.
Em que momento o objeto tem deslocamento nulo?

Passo 1

O enunciado diz que um objeto parte de uma altura inicial de 64 ft com velocidade dada por v(t) = 32 t + 96 (em pés por segundo). O que precisamos é do deslocamento s(t) para então achar quando s(t) = 0. Vamos usar integração de v(t) para obter s(t) e depois resolver a equação quadrática.

Passo 2

O deslocamento s(t) a partir do instante t = 0 é dado por s(t) = s₀ + ∫₀ᵗ v(τ) dτ, ou seja:
s(t) = 64 + integral0^t (32tau + 96) , dtau
Calculando a integral, separamos em duas partes:
∫₀ᵗ 32τ dτ = 16 t²
∫₀ᵗ 96 dτ = 96 t
Somando tudo,
s(t) = 64 + 16 t² + 96 t.

Passo 3

Para encontrar quando o deslocamento é zero, montamos a equação:
64 + 16t^2 + 96t = 0
Dividindo por 16 para simplificar, obtemos:
t^2 + 6t + 4 = 0

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação t^2 + 6t + 4 = 0:
t = -6 pm raiz6^2 - 4 cdot 1 cdot 42 cdot 1 = -6 pm raiz36 - 162 = -6 pm raiz202 = -3 pm raiz5
Essas são as duas raízes do deslocamento. Note que ambas são números negativos (≈ -0,764 e ≈ -5,236), ou seja, não existe instante t ≥ 0 em que o deslocamento seja zero.

Passo 5

Portanto, as soluções formais da equação são t = -3 + √5 e t = -3 - √5, mas nenhum dos valores se aplica a t ≥ 0.

Resposta

t = -3 \pm \sqrt{5} segundos (raízes da equação s(t)=0, ambas negativas, logo não há instante t ≥ 0).

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