Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por
; de uma altura de 64 pés.
Em que momento o objeto tem deslocamento nulo?
Em que momento o objeto tem deslocamento nulo?
Passo 1
O enunciado diz que um objeto parte de uma altura inicial de 64 ft com velocidade dada por v(t) = 32 t + 96 (em pés por segundo). O que precisamos é do deslocamento s(t) para então achar quando s(t) = 0. Vamos usar integração de v(t) para obter s(t) e depois resolver a equação quadrática.
Passo 2
O deslocamento s(t) a partir do instante t = 0 é dado por s(t) = s₀ + ∫₀ᵗ v(τ) dτ, ou seja:
Calculando a integral, separamos em duas partes:
∫₀ᵗ 32τ dτ = 16 t²
∫₀ᵗ 96 dτ = 96 t
Somando tudo,
s(t) = 64 + 16 t² + 96 t.
Passo 3
Para encontrar quando o deslocamento é zero, montamos a equação:
Dividindo por 16 para simplificar, obtemos:
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação
:
Essas são as duas raízes do deslocamento. Note que ambas são números negativos (≈ -0,764 e ≈ -5,236), ou seja, não existe instante t ≥ 0 em que o deslocamento seja zero.
Passo 5
Portanto, as soluções formais da equação são t = -3 + √5 e t = -3 - √5, mas nenhum dos valores se aplica a t ≥ 0.
Resposta
t = -3 \pm \sqrt{5} segundos (raízes da equação s(t)=0, ambas negativas, logo não há instante t ≥ 0).