Considere a função f(x)=12 x^2 e integral-3^-1 f(x) d x. Verifique se integral corresponde a uma área?
Defina a altura do i-ésimo retângulo e calcule Ai como uma aproximação.

Passo 1

Temos a função f(x)=tfrac12x^2 e queremos calcular integral-3^-1f(x),dx. O conteúdo envolve interpretar a integral definida como área sob a curva e aproximá-la por soma de retângulos (Riemann). Para isso, vamos verificar o sinal de f(x), definir a largura De de cada subintervalo, escolher pontos de amostragem xi e expressar a área aproximada Ai de cada retângulo.

Passo 2

A função f(x)=tfrac12x^2 é não negativa para todo x. Em particular, em [-3,-1] temos f(x)>=0. Logo, integral-3^-1f(x),dx realmente corresponde à área da região limitada pela curva, pelo eixo x e pelas retas x=-3 e x=-1.

Passo 3

Particionamos o intervalo [-3,-1] em n subintervalos iguais. A largura de cada pedaço é
De

Passo 4

Escolhemos, por exemplo, o ponto direito de cada subintervalo como amostragem:
xi=-3+i,De
A altura do i-ésimo retângulo fica
hi=f(xi)=tfrac12xi^2

Passo 5

A área aproximada do i-ésimo retângulo é
Ai=hi,De

Resposta

Sim. Como f(x)>=0 em [-3,-1], a integral corresponde à área sob a curva. Com De e xi=-3+i,De, temos
Ai=l(tfrac12(-3+itfrac2n)^2r)2n

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