Resolução de equação diferencial por Série de Potências:
Obter a solução de
por série de potências
Vamos resolver a equação diferencial:
com as condições iniciais
e
.
Passo 1: Supor uma solução em série de potências
Assumimos uma solução para
na forma de uma série de potências:
Encontrando as derivadas da série de potências, diferenciando termo a termo, obtemos:
Passo 2: Substituir na Equação Diferencial
Substituímos
e
na equação
:
Passo 3: Ajustar as séries
Reindexamos a primeira série para que ambas somas tenham potências de
. Na primeira série, substituímos
, de modo que
, então:
Assim, a equação diferencial se torna:
Passo 4: Igualar os coeficientes a zero:
Para que a soma seja zero para todo
, os coeficientes de cada
devem ser zero. Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 5: Determinar os coeficientes usando as condições iniciais:
Usando as condições iniciais
e
:
- Quando
. 2. Quando
.
Com
e
, podemos calcular os próximos termos usando a relação de recorrência:
Passo 6: Solução em série de potências:
Portanto, a solução em série de potências é:
A série obtida é a expansão em série de Taylor para
. Assim, a solução é: