Sejam os vetores não nulos
e escalares
. Mostre que
Passo 1
No enunciado, precisamos mostrar que ((u \times v) \times w = \langle u, w\rangle,v - \langle v, w\rangle,u. O conteúdo envolve produto vetorial e produto escalar, sobretudo a identidade de produto vetorial triplo e a anticomutatividade do cruzamento.
Passo 2
Usamos primeiro que o produto vetorial é anticomutativo, ou seja, (a \times b = -,b \times a. Assim,
Passo 3
Em seguida, lembramos da identidade do produto vetorial aninhado (a regra “bac–cab”): para quaisquer vetores
,
Essa identidade pode ser demonstrada via determinantes ou símbolos de Levi–Civita, mas vamos empregá-la diretamente.
Passo 4
Agora aplicamos essa identidade ao produto
, tomando
,
e
. Obtém-se:
Passo 5
Finalmente, voltamos ao nosso produto original pela anticomutatividade:
Passo 6
Isso é exatamente
mostrando a identidade desejada.