Sejam os vetores não nulos u, v, w in R^3 e escalares alpha, beta in R. Mostre que
(u times v) times w=lang<= u, wrang<= v-lang<= v, wrang<= u

Passo 1

No enunciado, precisamos mostrar que ((u \times v) \times w = \langle u, w\rangle,v - \langle v, w\rangle,u. O conteúdo envolve produto vetorial e produto escalar, sobretudo a identidade de produto vetorial triplo e a anticomutatividade do cruzamento.

Passo 2

Usamos primeiro que o produto vetorial é anticomutativo, ou seja, (a \times b = -,b \times a. Assim,
(utimes v)times w = -,wtimes (utimes v),

Passo 3

Em seguida, lembramos da identidade do produto vetorial aninhado (a regra “bac–cab”): para quaisquer vetores A,B,Cin R^3,
A times (B times C) = B,(A cdot C) - C,(A cdot B),
Essa identidade pode ser demonstrada via determinantes ou símbolos de Levi–Civita, mas vamos empregá-la diretamente.

Passo 4

Agora aplicamos essa identidade ao produto w times (u times v), tomando A=w, B=u e C=v. Obtém-se:
w times (u times v) = u,(wcdot v) - v,(wcdot u),

Passo 5

Finalmente, voltamos ao nosso produto original pela anticomutatividade:
(u times v) times w = -l(w times (u times v)r) = -l(u,(wcdot v) - v,(wcdot u)r) = v,(ucdot w) - u,(vcdot w),

Passo 6

Isso é exatamente
lang<= u,wrang<=,v - lang<= v,wrang<=,u,,
mostrando a identidade desejada.

Resposta

lang<= u, wrang<=,v - lang<= v, wrang<=,u

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